如图,在矩形ABEF中,C、D分别是边BE、AF的中点,AB=10,AF=20,点P、Q分 ...

发布网友发布时间：2024-10-24 04:30

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热心网友时间：2024-11-04 14:45

（1）证明：∵四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，AB=EF，∠BAF=∠ABE=∠AFE=∠BEF=90°．
又∵AB=10，AF=20，
∴AF=2AB，
∵C、D分别是BE、AF的中点，

∴四边形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴∠PCD=90°，
∴∠B=∠PCD，∠QPC+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP ∽ △PQC；

（2）证明：在AB上截取AM=PC，
∵四边形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴AB=BC，∠ECF=45°，
∴BM=BP，∠PCH=135°，
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°，
∴∠AMP=∠PCH，
∵△ABP ∽ △PQC，
∴∠BAP=∠QPC，
∵在△AMP和△PCH中，
∠MAP=∠CPH AM=PC ∠AMP=∠PCH ，
∴△AMP≌△PCH（ASA），
∴AP=PH；

（3）满足条件的点G是存在的，此时AG=BP．　　
证明如下：令DG与AP的交点为M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠DAG=∠ABP，
∵在△DAG和△ABP中，
DA=AB ∠DAG=∠ABP AG=BP ，
∴△DAG≌△ABP（SAS），
∴DG=AP，∠AGD=∠BPA．
∵AP=PH，∠BAP+∠BPA=90°，
∴DG=HP，∠BAP+∠AGD=90°，
∴∠AMG=90°，
即AP⊥DG，
∵AP⊥PH，
∴DG ∥ PH，
∴四边形GPHD是平行四边形．

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