将函数f(x)=(1+x^2)arctanx展成麦克劳林幂级数

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:15

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热心网友 时间：2024-10-24 02:16

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友 时间：2024-10-24 02:23

f(x)=1/(2+x) =1/2*1/(1+x/2), 利用公式1/(1-x)=1+x+x2+x3+....., 将-x/2代入得： f(x)=1/2*[1-x/2+(x/2)2-(x/2)3+.....] =1/2-x/22+x2/23-x3/2?+........ 收敛域为|x|<2

热心网友 时间：2024-10-24 02:15

解1：注意到一个等式的话，这个题就比较简单了
tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x)
所以 arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx
所以原式=π/4+arctanx
这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|<1
1/(1-x)=1+x+x^2+....
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+...
逐项积分得arctanx=∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]
所以原式=π/4+arctanx=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]
解2：（来自星光下的守望者）
令g(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],g(0)=π/4
∫[0->x]g'(t)dt = g(x)-g(0)=g(x)-π/4
g'(x)=[(1+x)/(1-x)]'/[1+(1+x)??/(1-x)??]=1/(1+x??)
g(x)=∫[0->x]g'(t)dt+π/4=∫[0->x] 1/(1+t??)dt+π/4
易知1/(1+t??)=1-t^2+t^4-t^6+…… |t|<1
g(x)=π/4+∫[0->x] (1-t^2+t^4-t^6+……) dt
=π/4+(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……)
=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]