2018暑假初二升初三数学补习资料

2018年暑假初二升初三专用教辅资料

第一讲 一元二次方程

【知识要点】

1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2bxc0（a、b、c、为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）axbxc0（a、b、c、为常数，a0）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在axbxc0（a0）中，a，b，c通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x的取值使得这个方程中的axbxc的值为0，x的值即是一元二次方程axbxc0的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的axbxc的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程axbxc0的解。

222222【经典例题】

例1、下列方程中，是一元二次方程的是

y21y0； ②2x2x30； ③23； ④ax2bx；⑤x223x；① 4x⑥xx40； ⑦t2； ⑧x3x232230；⑨x2x2；⑩ax2bx(a0) x（m4)x(m4)x2m30，当m__________时，是一元例2、（1）关于x的方程

二次方程，当m__________时，是一元一次方程.

（2）如果方程ax5(x2)(x1)是关于x的一元二次方程，则a__________.

例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

222）2x (4)3x4x8 （1）2xx10 (2)5x16x (3) (x122

1 精英教育

例4、（1）某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（ ）

5x1）9 A. （5x1）9 B. （5x1）（51x）9 D. 5（5x1）（51x）9 C. （（2）某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为

x，则方程为_____________.

例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果

2

地毯中央长方形图案的面积为18 m，那么花边有多宽?（只列出方程）

【经典练习】 一、选择题

1、下列关于x的方程：①1.5x10；②2.3x222222110；③3.4x2ax(其中a为x3x212x；⑥(x2x)2 =2x中，一元二次方程的个数常数)；④2x3x0；⑤

5是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4

2

2、方程x－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）

2222

A.x－5x+5=0 B.x+5x+5=0 C.x+5x－5=0 D.x+5=0

2

3、一元二次方程7x－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）

2222

A.7x,2x,0 B.7x,－2x，无常数项 C.7x,0,2x D.7x,－2x,0

2

4、若x=1是方程ax+bx+c=0的解，则（ ）

A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0 5、下列方程中，不是一元二次方程的是 ( )

222

A.2x+7=0 B.2x+23x+1=0 C.5x+

12

+4=0 D.3x+(1+x) 2+1=0 x2

6、方程x－3=(3－2)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是 ( )

A.2

B.－2

C.23 D.1223

7、若关于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为 ( )

A.m B.－bd C.bd－m D.－(bd－m)

22

8、若关于x的方程a(x－1)=2x－2是一元二次方程，则a的值是 ( ) A.2 B.－2 C.0 D.不等于2 二、填空题

2 精英教育

1、将x(4x3)3x1化为一般形式为__________，此时它的二次项系数是. __________，一次项系数是__________，常数项是__________。

2

2、如果(a+2)x+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.

3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________. 4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为_____ ______.

5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________ ___.

第二讲 一元二次方程的解法

【知识要点】

1、 直接开平方法解一元二次方程：

（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成(xb)a(a0)的形式

（2）直接开平方，解得x1ba,x2ba

2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

3、用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）利用配方法解一元二次方程时，如果axbxc0中a不等于1，必须两边同时除以a，使得二次项系数为1.

（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 （4）用直接开平方法求出方程的根。

22【经典例题】

例1、用直接开平方法解下列方程:

2（4x1) （1）x4 （2）(x3)9x （3）(x2）2222

例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：

_____（x6)（1）x12x　222

_____（x____) （2）x8x　222_____（x_____) （3）x12x　

3 精英教育

例3、用配方法解方程

（1）3x8x30 （2）6x12x10 （3）

221255xx0 （4）3x296x 224【经典练习】

1、一元二次方程x－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ） 22222

A.(x－1)=m+1 B.(x－1)=m－1 C.(x－1)=1－m D.(x－1)=m+1

2

2、用配方法解方程x+x=2，应把方程的两边同时（ ） A.加

2

1 4 B.加

1 22

2

C.减

1 4 D.减

1 23、已知xy=9，x－y=－3，则x+3xy+y的值为（ ） A.27 B.9 C.54 4.用配方法解下列方程

2 D.18

(1) x5x10 （2）2x-4x10 (3)

4 212x-6x30 (4) 2x222x10 4 精英教育

【知识要点】

1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次

b2b24ac)方程axbxc0其中a0，由配方法有(x。 2a4a22bb24ac2（1）当b4ac0时，得x；（2）当b4ac0时，一元二次方程

2a2无实数解。

2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。 3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：

（1）必须把一元二次方程化成一般式axbxc0，以明确a、b、c的值； （2）再计算b4ac的值：

22bb24ac①当b4ac0时，方程有实数解，其解为：x；

2a2②当b4ac0时，方程无实数解。 【经典例题】

例1、推导求根公式：axbxc0（a0）

例2、利用公式解方程：

（1） x2x20 （2） 2x7x4

2（3）-x54x （4）x43x100

22222

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【经典练习】

用公式法解下列各方程

（1）x+6x+9=7 （2）x42x80

2

2

（3）(2x1)(x3)4 （4）2x3x20

2【知识要点】

1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。

2、分解因式法的理论依据是：若ab0，则a0或b0 3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。

【典型例题】

例1、（1）方程(x1)(x2)2(x2)的根是__________ （2）方程(x1)(x2)(x3)0的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程

2（1）3x6x0 （2）3(x5)2(5x)

2

（3） x2x10 （4）4x8x4

6 22

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（5） (3x2)(x3)0 （6）49(x3)16(x6) （7）

2222125xx60 （8）(x－1)2－4(x－1)－21＝0． 42

【经典练习】

13、解合适的方法下列关于x的方程

22

(1)x＋12x＝0； （2)4x－1＝0； (3)(x－1)(x＋3)＝12；

222

(4)x－4x－21＝0； (5)3x＋2x－1＝0； (6)10x－x－3＝0；

2

(7)4(3x+1)-9=0 (8) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)

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第三讲 一元二次方程根判别式和根与系数的关系

【知识要点】

1、一元二次方程的判别式：b4ac

2bb24ac（1）当b4ac0时，方程有两个不相等的实数根，x。

2a2（2）当b4ac0时，方程有两个相等的实数根，x1x2（3）当b4ac0时，方程无实数解。 2、一元二次方程根与系数关系的推导：

22b。 2a对于一元二次方程axbxc0其中a0，设其根为x1,x2，由求根公式

2bcbb24ac，有x1x2，x1x2 x1x22aaa3、常见的形式：

（1）(x1x2)(x1x2)4x1x2 （2）x1x2(x1x2)4x1x2

222【典型例题】

例1、 当m分别满足什么条件时，方程2x-(4m+1)x +2m-1=0,

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.

例2、已知方程x2xc0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。

8 22

2

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例3、已知方程x5x60的根是x1和x2，求下列式子的值： （1）x1x2 + x1x2 （2）

例4、已知关于x的方程3x-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且的值.

例5、已知关于的方程①x(12a)xa30有两个不相等的实数根，且关于的方程②x2x2a10没有实数根，问a取什么整数时，方程①有整数解？

例6、 讨论方程(1m)x4(m1)x40的根的情况并根据下列条件确定m的值。 （1）两实数根互为倒数；（2）两实数根中有一根为1。

9 222

222x1x2 x2x11122

3 ，求 ①m的值；②求x1+x2x1x2x22x2 精英教育

【经典练习】

1、方程xkx10的根的情况是（ ）

A 、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、 没有实数根 D、 与k的取值有关

22、已知方程x3x40的两个根分别是x1和x2，则x1x2= _____，x1x2= _____ 23、已知方程xaxb0的两个根分别是2与3，则a ，b 24、已知关于x的一元二次方程(k1)x(k1)0的两根互为倒数，则k的取值是( ). A、222 B、2 C、 2 D、0

25、设方程3x5xq0的两根为x1和x2，且6x1x20,那么q的值等于( ). A、122 B、-2 C、 D、

93926、如果方程xmx1的两个实根互为相反数，那么m的值为（ ） A、0 B、－1 C、1 D、±1 7、已知方程x3xk0的两根之差为5，k= 8、以数21,21为根构造一个一元二次方程

9、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x9x200的一个根，求这个三角形的腰。

2

10、若方程 x＋mx－15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，求ｍ的值.

11、已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x-1)-2ax+c (x+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.

10 2

2

22 精英教育

第四讲 二次函数

【知识要点】

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 （这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．） 2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

【典型例题】

例1、 函数y=（m＋2）x

m22＋2x－1是二次函数，则m= ．

例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）

11222

① y=x＋x；② y=3（x－1）＋2；③ y=（x＋3）－2x；④ y=x2＋x．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．

【经典练习】

1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ， b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y=（m－2）x

m22是二次函数．

3．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系 。

4、请你分别给a，b，c一个值，让yaxbxc为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限. a= ，b= ，c= 。

2

11 精英教育

5．下列不是二次函数的是（ ）

1A．y=3x2＋4 B．y=－3x2 C．y=x25 D．y=（x＋1）（x－2）

6．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）

A．m、n为常数，且m≠0 C．m、n为常数，且n≠0

B．m、n为常数，且m≠n D．m、n可以为任何常数

7．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．

8．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．

12 精英教育

第五讲 二次函数yax2图象与性质

例：作二次函数yx的图象。

（1）列表：根据函数yx的自变量x可以是任意实数，所以选取自变量x的值，并计算出对应值y，并填入下表：

22x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … .. yx2 …

(2)描点法：表中每个x为点的横坐标，对应的y值为点的纵坐标，在图（1）平面直角 坐标系中描出相应的点；（3）连线：用平滑的曲线顺次连接所描的点，即为二次函数yx的图象。

注意：一般地，选点越多，图象越精确，但也要具体情况具体分析

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？ 4.当x取什么值时，y的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

2

【知识要点】

1、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程

13 精英教育

相同，都是三步：列表、描点、连线。

规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）。观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。

2. 二次函数基本形式：yax的性质： (1)a 的绝对值越大，抛物线的开口 。

2a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 a0

【典型例题】

例1、求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．

例2、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：

（1）y=ax2经过（1，2）； （2）y=ax2与

1y=2x2的开口大小相等，开口方向相反；

1y=2x＋3交于点（2，m）．

（3）y=ax2与直线

例3、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）． （1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二

14 精英教育

次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．

【经典练习】

1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ． 2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．

3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．

4．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．

15．点A（2，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．

6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为

．

7．抛物线y12x，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ） 4

B．y=4x2

C．y=－2x2

D．无法确定

1A．y=4x2

8．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）

9．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 。

10．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ） A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36

15 精英教育

11、如图，把抛物线yx与直线y1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（ ） ．．A．点O1的坐标是(11) ，0) B．点C1的坐标是(2，C．四边形O1BA1B1是矩形 D．若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3

2y A（11，）B O1 C（，11）A1B1 x C1

O

第六讲 二次函数yax2c的图象与性质

16 精英教育

引入：在同一平面内画出函数y=x2与y=x2+1，y=—x2与y=-x2-1的图象，并回答下列问题。

x y=x2 y=x2+1 y=—x2 y=-x2-1

… … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … .. .. (1)函数y=ax2+k的图象可以看成是由函数y=ax2的图象通过怎样平移得到的? (2)说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，增减性。

(3)试说明，如果要将函数y=ax2的图象经过适当的平移，得到函数y=ax2+k的图象， 那么应该怎样平移?

【知识要点】

1．二次函数yaxc的图象与二次函数yax2的图象的关系：

17 2

精英教育

（1）二次函数yaxc的图象相对于yax2的图象来说，只是 平移， 、 都一样．

（2）二次函数yaxc的图象是由yax2的图象通过向上（或向下）平移得到的．移动的单位由c决定，方向由c的符号决定（上加，下减）． 2. yax2c的性质：

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 22a0 a0

【经典练习】

1．抛物线y=x－4的顶点坐标是（ ）

A．（2，0） B．（－2，0） C．（1，3）D．（0，－4）

2．将抛物线y=－x－1向上平移两个单位得到抛物线的表达式（ ） A．y=－x B．y=－x－2 C．y=－x＋1 D．y=x＋1

3．若二次函数y=ax＋c(a≠0)中，a＞0，c＞0时，它的图象的开口方向是（ ） A．向上 B．向下 C． 向上或向下 D．无法判断

4．抛物线y=ax＋b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a，b的取值范围是（ ） A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0

5．抛物线y=x＋b与抛物线y=ax－2的形状相同，只是位置不同，则a、b值分别是（ ） A．a=1，b≠－2 B．a=－2，b≠2 C．a=1，b≠2 D．a=2，b≠2

6．在同一直角坐标系中，函数yaxb与yaxb(ab0)的图象大致如图（ ）

y 22222222222y y x C y x D A x B 2 x

7．抛物线y=ax＋c与y轴相交于坐标原点，则下列判断正确的是（ ） A．c＞0 B．c=0 C．c＜0 D．c的符号与a无关

18 精英教育

8．如果二次函数y=ax＋m的值恒大于0，那么必有（ ）

A．a＞0，m取任意实数 B．a＞0，m＞0 C．a＜0，m＞0 D．a，m均可取任意实数 9．抛物线y=－

212x－3的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x＝ 3 时，y有最 值为 ．

10．函数y=ax－2中，当x=1时，y=－4，则函数的最大值是 ．

11．已知，抛物线y=ax＋c与抛物线y=－2x－1关于x轴对称，则a= ，c= ． 12．设直线y1=x+b与抛物线y2=x2+c交于点A(3，5)和点B． (1)求b，c的值和点B的坐标；(2)在同一坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当x分别在什么范围时，y1y2?

13．如图，二次函数y=－mx＋4m图象的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内． （1）求二次函数的表达式；（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩

y 形ABCD的周长P关于自变量x的函数表达式，并求自变量x的取值范围． D

C O

2222A B x

第七讲 二次函数ya(xh)2的图象与性质

22引入：画出y=2x2与y=2（x-1）2，y3x与y3(x2)图象，回答下列问题：

19 精英教育

x y=2x2 y=2（x-1）2 y=—3x2 … … … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … .. .. y3(x2)2

(1)函数y3(x2)的图象可以看成是由函数y3x的图象通过怎样平移得到的? (2)说出函数y3(x2)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，增减性。

2(3) 试说明，如果要将函数y3x的图象经过适当的平移．得到函数y3(x5)的图

2222象，那么应该怎样平移?

【知识要点】

1．二次函数ya(xh)的图象与二次函数yax2的图象的关系：

2

20 精英教育

（1）二次函数ya(xh)的图象相对于yax2的图象来说，只是 平移， 、 都一样．

（2）二次函数ya(xh)的图象是由yax的图象通过向左（或向右）平移得到的．移动的单位由h决定，方向由h的符号决定（h0向右，h0向左）． 2．二次函数ya(xh)的图象与性质：

a的符号 2222开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 a0

【经典练习】

1.抛物线y2(x1)的图象是一条 线，开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．

2．二次函数y3(x1)2的图象经过第 象限，有最 点，坐标是 ，当x1时，y随x的增大而 ，当x1时，y随x的增大而 ，当x ，函数有 最 值，为 ．

4. 将抛物线y=3x2向左平移5个单位，得到抛物线的解析式是 ． 5．对于任何实数h．抛物线y=(x－h)2与抛物线y=x2 ( )

A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最高点

6．若对任何实数x，二次函数了y=(m一1)x2的值总是非正数，则m的取值范围是( ) A．m≤1 B．m≥1 C．m<1 D．m>1

7．已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把y轴向右移动2个单位．则新坐标系下抛物线的解析式是( )

A．y=2x2+2 B．y=2x2－2 C．y=2(x+2)2 D．y=2(x－2)2 8. 抛物线了y=

212与x轴的交点坐标是 ．当x 时，y随x3的开口向_____，

4x的增大而减小．

9. 试写出一个满足下列条件的抛物线解析式：①开口向下；②抛物线的顶点在x轴上；③

21 精英教育

对称轴是直线 x

1

。 ． 2

2ya(xb)10.若抛物线有最高点，且在x轴上，则直线ybxa不经过第 象限．

11.若A(513，y1，)，B(－1，y2：)，C (，y3)为二次函数了y=－(x+2)2的图象上的三点，

34则y1，y2，y3的大小关系是 ．

22ya(xn)y2xx112.若抛物线的对称轴为，且它与的图象形状相同，开口方

向相反，则(a,n)关于x轴的对称点坐标为 .

13. 抛物线y=3(x－1)2与抛物线y=－3(x+1)2有何关系?可以通过怎样的变换由抛物线y=3(x

－1) 2得到抛物线y=－3(x+1) 2

第八讲 二次函数ya(xh)2k的图象与性质

【典型例题】

引入：画出y3x与y3(x2)1图象，回答下列问题：

22x y=—3x2 … … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … .. y3(x2)21

(1)函数y3(x2)1的图象可以看成是由函数y3x的图象通过怎样平移得到的? (2)说出函数y3(x2)1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，增减性。

(3) 试说明，如果要将函数y3x的图象经过适当的平移．得到函数y3(x2)3的图象，那么应该怎样平移?

22222

【知识要点】

22 精英教育

1．二次函数ya(xh)k的图象与二次函数yax2的图象的关系：

（1）二次函数ya(xh)k的图象相对于yax2的图象来说，只是 平移， 、 都一样．

（2）二次函数ya(xh)k的图象是由yax的图象通过先向左（或向右）平移，再向上（或向下）平移得到的．或先向上（或向下）平移，再向左（或向右）平移得到的。移动的单位由h（k）决定，方向可以简单记为成八个字“左加右减，上加下减”． 2. yaxhk的性质：

a的符号 22222开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 a0 【经典练习】 1．二次函数y2(x1)2的图象的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．

2．二次函数y2(x1)2的图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 ，当x 时，当x= 时，为 ． y随x的增大而减小；y取得最 值，3．把抛物线y=3x先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是 ． 4．二次函数y= 一2(x一3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为 ( ) A．开口向下，对称轴为直线x=一3，顶点坐标为(3,—5) B．开口向上，对称轴为直线x= 3，顶点坐标为(一3，一5) C．开口向上，对称轴为直线x= 一3，顶点坐标为(一3，5) D．开口向下，对称轴为直线x= 3，顶点标为(3，5)

5．将抛物线y=x2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（ ） A．y=(x+2)2－3 B．y=(x+2)2－2 C．y=(x－2)2－3 D．y=(x－2)2－2

6．若直线y=3x+m经过第一、三、四象限．则抛物线y=(x-m)2+1的顶点必在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．y=x2—1可由下列（ ）的图象向右平移1个单位，下平移2个单位得到． A．y=(x-1)2+1 B．y=(x+1)2+1 C．y=(x-1)2-3

23 222D．y=(x+1)2+3

精英教育

8．抛物线y=a（x－b）＋b无论b取何值，其图象的顶点都在（ ）

A．x轴上 B．y轴上 C．第一、三象限的平分线上 D．第二、四象限的平分线上

9．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ） A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞0

10．抛物线和y=－2x2形状相同，方向相反，且顶点为（－1， 3）， 则它的关系式为________．

11．已知抛物线y=－3(x+2)2－3，如果y随x的增大而减小， 那么x的取值范围是_ ．

12．若把函数y=5(x－2)2－2的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 ．

13． y= （x－2）－1的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，那么△ABC的面积为 ．

14．已知抛物线yaxhk的对称轴是直线x3，a1，且函数y的最大值为2，

222则抛物线的解析式为 ．

15．已知二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象经过原点，当x=1时，函数y取得最小值-1． (1)求这个二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(2)若这个二次函数的图象与x轴的交点为A、B，顶点为C，试判断△ABC的形状．

第九讲 二次函数yax2bxc的图象与性质

【知识要点】

24 精英教育

1.二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配b4acb2b4acb2方可以得到前者，即yax，其中h，． k2a4a2a4a2222. 二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

3.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb2（，） （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，2a4a2a4a22对称轴是直线xb. 2a2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶

点为(h,k)，对称轴是直线xh.

2（3）对称法：抛物线yaxbxc上纵坐标相同的两点（x1，y0）和（x2，y0），则

（x1，y0）和（x2，y0）关于对称轴对称，则其顶点的横坐标为

x1x2，顶点的纵坐标2为xx1x2时y的值． 24.二次函数yax2bxc的性质

（1）. 当a0时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．

当 时，y随x的增大而 ；当 时，y随x的增大而 ；当 时，y有最 值 ．

（ 2）. 当a0时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时，y随x的增大而 ；当 时，y随x的增大而 ；当 时，y有 最 值 ．

【典型例题】

例1．通过配方，确定抛物线y2x4x6的开口方向、对称轴和顶点坐标。

25 2 精英教育

例2．把抛物线yx2bxc的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是yx23x5，试求b、c的值．

【经典练习一】

1．将下列二次函数化成顶点式：

2（1）y2xx3； （2）

y12x2x； 3

2．抛物线y4x2x2的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而减小．

23．用配方法将函数yx4x5写成ya(xh)k的形式为（ ）

2A．y(x2)1 B．y(x2)1C．y(x2)1 D．y(x2)1 4．抛物线yx2x3与坐标轴的交点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 5．若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2

6．二次函数y=4x2-mx+5，当x< 一2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的 增大而增大．则当x=1时，函数y的值是 ( ) A．一7 B． l C． 17 D．25

7．不论x为何实数．二次函数y=x2+2x+3的函数值的范围是( ) A．y≥3 B．y≥2 C．y>2 D．y>0

8．若二次函数y=ax2+x+c的值恒为正数则a，c应满足的条件是 ( )

26 22222 精英教育

A．a0且ac1111 B．a0且ac C．a0且ac D．a0且ac 444429．二次函数y3x6x5的图象的顶点坐标是 ． 10．若二次函数y=x2－2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于 ．

11．若抛物线y2x2axb的顶点坐标是（4，—3） ，则a＝ ，b＝ ．12．抛物线y3x8x4配方后得 ，它的图像与x轴的交点坐标是 ． 13．抛物线y=－2x2+x-6，当x______时，y随x增大而增大，当x _______时，y随x增大而减小．

14．二次函数y=x2－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为 ． 15．二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ． 16．若二次函数y2xmx1的对称轴是直线x＝1，则m＝______．

17．抛物线y5x4x1关于y轴对称的抛物线解析式是 ，关于x轴对称的抛物线解析式是 ．

18．把抛物线y2x24x1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单 位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由． 19．如图，抛物线y=－x2十5x十n经过点A(1，0)，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式；

(2)P是坐标轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标。

222

【经典练习二】

1．已知二次函数yax2bxc，x与y的对应值如下表：

x

—3 —2 0 1 3 5 27 精英教育

y 7 0 —8 —9 —5 7 那么二次函数的图象的对称轴为 ，当x2时，函数值为 ． 2．已知抛物线yax2bxc与yx2的形状相同，且与x轴的两个交点坐标为

2（—1,0），（3,0），则抛物线yaxbxc的顶点坐标 。

3．若二次函数yax2c，当取x1、x2（x1x2）时，函数值相等，则当x取

x1x2时，函数值为（ ）

A．ac B．ac C．a D．c

24．5）5）若（2，，（4，是抛物线yaxbxc上对称的两点，则它的称轴方程是（ ）

A．x1 B．x1 C．x2 D．x3 5．二次函数y(x2)(x3)的图象的对称轴为（ ） A．x2 B．x6．二次函数y11 C．x D．x3 221xx2有（ ） 41111A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

646464647．若抛物线yx26xm2的顶点到x轴的距离是3，则m的值是（ ） A．8 B．14 C．8或14 D．8或14

8．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表： x y -7 -27 -6 -13 -5 -3 -4 3 -3 5 -2 3 则当x=1时，y的值为（ ）

A．5 B．-3 C．-13 D．-27

9．若一次函数y(m1)xm的图象经过第一、三、四象限，则函数ymx2mx 有（ ）A．最大值-

10．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )

mmmm B．最大值 C．最小值 D．最小值

4444

28 精英教育

A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0 C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值

211．二次函数yaxbxc中，bac，且x0时y4，则( )

2A．y最大值4 B．y最小值4C．

y最大值3 D．

y最小值3

12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1．0)求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．根据现有信息，题中二次函数的图象不具有的性质是( )

A．过点(3，0) B．顶点(2，一2) C．在x轴上截得的线段长是2 D．与y轴的交点是(0，3) 13．如图，点A，B的坐标分别为（1， 4）和（4， 4），抛物线ya(xm)n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为( ) A．－3 B．1 C．5 D．8

y A(1,4)B(4,4)C2

O （第14题） Dx

第十讲 函数的图象特征与a、b、c的关系

【知识要点】

a看开口方向，c看与y轴的交点位置，b结合a、看对称轴的位置。

29 精英教育

例1、已知二次函数yaxbxc（a0）的图象如图所示，有下列四个结论：

2①b0②c0③b24ac0④abc0，其中正确的个数有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

y 1 1O 1 x

2

例2、已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①abc0；②③abc0；④4a2bc0；⑤ca1其中所有正确结论的序号是（ ） abc1；A．①②

C．①②③⑤

B． ①③④ D．①②③④⑤

【经典练习】

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示， 则a、b、c的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示， 则下列结论正确的是（ ）

A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0

3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3， 有以下结论： ①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0

2

④b-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）

A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤ 4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同 一坐标系内的图象可能是（ ）

2

5.已知二次函数y＝ax＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( ) yyy y OA1xOB1x30 OC1xOD1x 精英教育

22

6．二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

2

7.二次函数y=ax＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

b8、在同一坐标系中，函数y=ax＋bx与y=的图象大致是图中的（ ）

x2

9.已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a，b同号； ②当x＝1和x＝3时，函数值相同； ③4a＋b＝0 ④当y＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2

10.已知二次函数y＝ax＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2

11、二次函数yaxbxc(a0)的图象如图，下列判断错误的是 （ ）

A．a0

B．b0

C．c0

D．b4ac0

22

第十一讲 二次函数的交点问题

【知识要点】

二次函数与x轴、y轴的交点的求法：分别令y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等

31 精英教育

的相交：联立两个函数表达式，解方程.

【典型例题】

例1、已知抛物线y＝x-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。 （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积

例2、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：（1）△AOC的面积；（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．

2

例3、.如图，抛物线yxbxc经过直线yx3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使SAPC：SACD5 ：4的点P的坐标。

例4、已知抛物线y=

2125x+x-．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． 22（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

32 精英教育

例5、已知抛物线y=mx＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点． （1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

例6．已知二次函数y=x－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．

（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m为何值时，方程x－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

2

22

【经典练习】

1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 则它的表达式为

．

2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，

．

33 精英教育

3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax＋bx＋c经过 4．抛物线y=x－2x＋3的顶点坐标是

22

2

象限．

．

．

5．若抛物线y=2x－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= 6．抛物线y=2x＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=

2

2

．

． ． ．

7．已知抛物线y=ax＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 8．二次函数y=kx＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围

229．抛物线yx2axa的顶点在直线y=2上，则a的值是

2

10．抛物线y=3x＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）

A．3个

B．2个

2

2

C．1个 D．无

11．如图1所示，函数y=ax－bx＋c的图象过（－1，0），则（ ） A．－3

B．3

C．

1 2abc的值是bccaab1D．

2

12．已知二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）

2

bbbbA．0＜－

2a＜1 B．0＜－2a＜2 C．1＜－2a＜2 D．－2a=1

13．已知二次函数y=x＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

2

第十二讲 函数解析式的求法及综合训练

【知识要点】 二次函数的解析式的形式常用有三种．

（1）已知抛物线上三点坐标，则设一般式：yaxbxc．

34 2 精英教育

（2）已知抛物线的顶点坐标（h,k）（或对称轴），则设顶点式，即ya(xh)k

（3）已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），则设交点式（或两根式）：

2ya(xx1)(xx2)． 【典型例题】

例1、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax+bx+c，然后解三元方程组求解； （1）．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。 （2）．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

例2、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设

2

解析式为顶点式y=a(x－h)+k求解。 （3）．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。 （4）．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

例3、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。 （5）．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

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2

（6）．抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。

例4、 一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式；

（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；

（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大． （4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？

2

例5、如图，抛物线y=x－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

问：在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请

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求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

练习：如图，抛物线

⑴求该抛物线的解析式；

⑵设⑴中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的

37 与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点.

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周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶在⑴中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

例6．如图，抛物线

与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物

线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

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（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

练习：如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（，

）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对

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角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【经典练习】

1．若抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。

2

2．抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝ ，c＝ . 3．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。

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2

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4．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）

3

（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=

2

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3

（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

5．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= －3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

6．已知二次函数图象与x轴交点(2,0)， (－1,0)与y轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

111

7．知二次函数图象顶点坐标（－3， ）且图象过点（2， ），求二次函数解析式及图象

22

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与y轴的交点坐标。

1

8．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － x+2

2

上，求函数解析式。

2

9． 已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

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