（法一）
摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向关键词：法向量
二面角方向
判断
借助法向量求二面角的平面角时，二面角的平面角的大小与法向量的所成角
（
）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部（图1）；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指
或外部时，
向二面角的外部时，（图2）。
求二面角的方法——“一里一外”
为了计算方便，我们求得的法向量夹角最好大小等于二面角的大小。所以，要求一个法向量方向朝着二面角的内部，一个方向量方向朝着二面角的外部，简记为“一里一外”。
那么有没有判断法向量方向的方法呢？
其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点来判断法向量的方向，具体方法如下：
面ABC与空间直角坐标系的坐标轴分别交于A,B,C三点,不妨设A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,),坐标原点O在面ABC上的射影为D点。
容易证明：
是锐角三角形，而且D点为
的内部。
=（x,y,z），则知x，y，z分别与，，同号，
），若与向量
的对应的一个坐的垂
心1,也就可以知道D点在
设D（x,y,z）,也即向量
此时取平面ABC的一个法向量=（
标同号，则另外两个也必然对应同号，也即
这样，只要
与，，对应同号，
同向，
与对应的，，有一个同号，则可知与
从而可进一步判断出的方向为指向平面ABC异于原点O的一侧，否则就指向原点所在的那一侧。
这样一来我们可以很容易地判断法向量的方向。
特别的，若二面角的一个半平面过坐标原点，则可以通过平移半平面，让坐标原点置于二面角的内部或外部，再用上面的方法判断。
例.如右图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E，F分别是PC,PD的中点，（1）求二面角F—BE—C的大小；
（2）求二面角D—BE—C的大小。
解析：（1）以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
依题意有P（0，0，2），F（0，0，1），E（0，1，1），
1
容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为锐角三角形，锐角三角形的垂心在三角形的内部。
B（2，2，0），C（0，2，0），1，-1），
设
=（0，1，1），=（
）,=（
=（-2，-1，1），=（0，1，0），=（0，
）,=（）分别为平面BEF，平
面BEC，平面BDE的法向量，则有
可取平面BEF的一个法向量
=（-1，0，-2）
的
坐标原点D在二面角的内部，平面BEF与Z轴交于F点，F点的竖坐标与竖坐标符号相异，可知角的内部，
的方向指向坐标原点D所在的一侧，也即
指向二面
可取平面BEC的一个法向量=（0，1，1），
的纵坐标符号相同，可
同理，平面BEC与Y轴交于C点，C点的纵坐标与知
的方向指向异于坐标原点D所在的一侧，也即
与
所成的角就是二面角的平面角，
指向二面角的外部，由此
可知，向量
==,故二面角的平面角为。
（2）
可取平面BDE的一个法向量
=（1，-1，1），
而此时坐标原点在D在平面上，可以把平面BDE沿着竖轴正（负）方向移动到
，使坐标原点在二面角的内部，此时
的竖坐标和
的竖坐标相同，故
指向异于原点的另一侧，也即指向二面角的外部，由此可知，向量成的角是是二面角的补角，
与所。
=0，故二面角的平面角为
练习：《重难点手册》144页第10题，用第一种方法计算。
用法向量求二面角时法向量方向的判断
（法二）
摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向关键词：法向量
二面角方向
判断外积
同样的，问题的关键在于如何确定法向量的方向。
下面，介绍一个定义——两向量的向量积。
一、定义：两向量的a与b的向量积（也称外积）是一个向量，记做aXb或[ab]，它的模是
IaXbI=IaIIbIsin∠（a,b）它的方向与a和b都垂直，并且按照a，b，aXb这个顺序构成右手标架｛O；a，b，aXb｝注：
(1)向量的外积结果仍然是一个向量，与向量的内积不同。(2)三个向量的顺序构成右手标架，可以简记为右手准则。(3)向量a与向量b的夹角范围为（0，
），否则不符合右手定则。
二、向量外积的计算
如果a=（a,a,a）123b=（b,b,b）123我们利用外积对其运算后，得到的结果向量
aXb=（abbbbb）2b3－a32，a31－a13，a12－a21即对应的两项交叉相乘再相减。
特别注意：第二项有些不同。
它的方向是垂直于向量a，向量b的。又因为法向量是没有模长要求的，所以向量aXb可以看作是平面α的一个法向量。
例1：如图所示，
=（1,2,3）=（0,2,3）求
。
例2：如右图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E，F分别是PC,PD的中点，（1）求二面角F—BE—C的大小，（2）求二面角D—BE—C的大小。
解析：（1）以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，依题意有
P（0，0，2），F（0，0，1），E（0，1，1），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，1，-1），
设
=（
=（-2，-1，1），=（0，1，1），）,=（
）,=（
）分别为平面BEF，平
=（0，1，0），
=
面BEC，平面BDE的法向量，
采用第二种求二面角的方法。
（1）对于平面BEF和平面BEC，不妨设朝着二面角的内部，
朝着二面角的外部。
.=（2，1，-1），
.=（0，-1，0）
易得
=（-1,0，-2）
=（0,2,2）
同样，易得
所以，cos∠F—BE—C=
故二面角的平面角为。
（2）对于平面BDE和平面BEC，由于面角的内部。.=0而.=0易得
=（0，1，1）=（2，2，0）
朝着二面角的外部，所以要求朝着二
=（-2,2，-2）
所以，cos∠D—BE—C=0故二面角的平面角为
。
练习：《重难点手册》144页第10题。用第二种方法计算。
用法向量求二面角的大小
1.同学们在求二面角时很难判断是钝角还是锐角，80-100度之间2.两种向量的夹角，互补或相等3.问题的关键在于，不知道法向量的方向。
4.那有没有能够判断法向量方向的方法，筷子，夹角提示，老师的方法，例题，做题；
我的方法，例题，做题。
0-180
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