４４ 数学教学研究 第３１卷第５期２０１２年５月 一道高考题的多种解法及阅卷启示 黄俊峰，袁方程 （湖北省大冶市第一中学４３５１００） 本人参加了２０１１年湖北省高考评卷工 作，评卷的是理科第２０题，发现学生的解法 多种多样，精彩纷呈．在总结学生解法的基础 上，整理出如下解法，并结合学生中存在的问 题，谈谈对教学与解答的启示 题目 平面内与两定点Ａ。（一ａ，０）， Ａ。（口，Ｏ）（ｎ＞Ｏ）连续的斜率之积等于非零常 数，，ｚ的点的轨迹，加上Ａ ，Ａ。两点所成的曲 线Ｃ可以是圆、椭圆或双曲线． （Ｉ）求曲线Ｃ的方程，并讨论Ｃ的形状 与ｍ值的关系． （Ｕ）当ｍ＝一１时，对应的曲线为Ｃ１，对 给定的 ∈（一１，０）Ｕ（０，＋ｃｏ），对应的曲线 为Ｃ２，设Ｆ ，Ｆ２是Ｃ２的两个焦点．试问：在 Ｃｌ上，是否存在点Ｎ，使得△Ｆ ＮＦ２的面积 Ｓ—ｌｍｌ口。．若存在，求ｔａｎ ＦＩＮＦ２的值；若 不存在，请说明理由． １解法呈现 解法Ｉ （标准答案）（Ｉ）设动点为Ｍ， 其坐标为（ｚ， ），当ｚ≠土口时，由条件可得 愚 。志ⅢＹ。 。 一 一 ， 即 ｍｘ。一Ｙ 一ｍａ。（ｚ≠±口）． 又Ａ１（－－ａ，Ｏ），Ａ２（口，Ｏ）的坐标满足ｍｘ。 －ｙ ＝ｍ口 ，故依题意，曲线Ｃ的方程为 ｍｘ。一 ＝仇ａ。． 当 ＜一１时，曲线ｃ的方程为‘ ＋ — ＝１，Ｃ是焦点在Ｙ轴上的椭圆； 当仇一一１时，曲线Ｃ的方程为ｚ ＋Ｙ ＝ｄ ，Ｃ是圆心在原点的圆； 当一ｌ＜ｍ－＜０时，曲线ｃ的方程为上－＋ Ｌ‘ — ｌ＝１，Ｃ是焦点在Ｘ轴上的椭圆； ～ｍａ 当ｍ＞０时，曲线ｃ的方程为 一 口 ｍ口 一１，Ｃ是焦点在ｚ轴上的双曲线． （Ⅱ）由（Ｉ）知，当研 一ｌ时，Ｃ１的方 程为ｚ。＋ 。一口。；当ｍ∈（・１，Ｏ）Ｕ（Ｏ， ＋。。）时，Ｃ２ 的两个焦点分别为 Ｆ （一ｎ、／，而，Ｏ），Ｆ２（口 ／ｒ千 ，０）．对于 给定的ｍＥ（一１，Ｏ）Ｕ（Ｏ，＋。。），Ｃ 上存在 点Ｎ（ｘ。，Ｙ。）（３，ｏ≠Ｏ）使得ｓ＝ＩｍＩ ａ 的充要 条件是 ｆｚ５＋ ５ 口。，Ｙｏ≠Ｏ， （１） １丢・２ｎ ｌ ｖｏ ｌ＝ｌ ｍｆ （２） 由（１）得 ０＜Ｉ 。ｌ≤口， 由（２）得 ，１ ２ｏ Ｉ一＿ Ｉ ｍｌａ・ 当ｏ＜ √１＋ｍ ≤口，即 ≤ ＜ｏ，或 ｏ＜ ≤ 时，存在点Ｎ，使Ｓ：ＩｍＩ ｚ； 当 ＞枷 ＜ ＜ ，或ｍ ＞ 时，不存在满足条件的点Ｎ； 第３１卷第５期２０１２年５月 数学教学研究 ４５、 当 ∈［ ，。）ｕ（。， 由 ｔａｎ ＬＦ ＮＭ＝ ｌ ３，ｏ¨Ｉ 赋一（一ａ —ｚ。，ｙｏ）， 蔺一（口４ｉ＋ｍ－－ｚ。，一 ）， 可得 ・ 一蜀－－（１＋ｍ）ｎｚ＋ 一一， ． 令Ｉ丽ｌ— Ｉ Ｉ—ｒ２，ＬＦ ＮＦｚ＝ ， 则由 丽Ｎ ・Ｎ ＝ｒｌ． ｒ１ ｒ２ＣＯＳ 一一ｍａ２，一一 ， 可得 ｍａ２ １ ｒ２ 一 ， ｓ一 １ ｒｚｓｉｎ 一 一一丢ｍ ａｎ ， 于是由Ｓ—Ｉｍｌａ ，可得 Ｉ 一 “２ｔａｎ Ｏ＝Ｉｍｌ口２， 即ｔ ｎ 一一 ． 综上可得： 当 ∈［ －１￣－，０）时，在ｃ 上，存在点 Ｎ，使得Ｓ—ｆｍＩ ａ。，且ｔａｎ／ＦｌＮＦ２—２； 当ｍ∈（。， 在ｃ 上～在点 Ｎ，使得Ｓ—ｌｍｌ ，且ｔａｎ Ｆ１ＮＦｚ一－－２； 当 （一１，１－２Ｊ－￣／，ｕ（Ｔ１－ｔ－４￣，＋∞）时， 在Ｃ１上，不存在满足条件的点Ｎ． 针对第（１Ｉ）ｆ＂－Ｉ，给出其它解法． 解法２（用斜率来体现ｔａｎ Ｆ。ＮＦ２） 过Ｎ点作Ｘ轴的垂线，垂足为Ｎ，同解法１， 可得 ｌ ｙｏ Ｉ蹄． 当ｍ∈［ ，。）时，焦点在圆内， ＿ｍ＋１＋ｘ／—ｒｎｑ－ｌ—－ｒｎ２ Ｉ 一——— —一’，一ｔａｎ 一 曼、 ＿｜’ ｅｒ＋ｌ－一———Ｊ ｎｑ－１ｍ２——１ｌｍｒｌ ——一＝－ｒ—，’ 。 ． ｔａｎ／Ｆ ＮＲ＝ｔａｎ（／Ｆ、ＮＭ＋／Ｆ，Ｎ ２（ｍ＋１） 一 Ｉｍ 一。 （ ＋１）。一（ 十１一ｍ。） ｒ ———— ＿—一 当 ∈（ｏ， ｌ时，同理可得 ｔａｎ／Ｆ１ＮＦ２：一一２； 当 （ ）ｕ（ ，＋ｃｘ。）时， 在Ｃ１上，不存在满足条件的点Ｎ． 解法３（用到角公式来体现ｔａｎ／ＲＮＦｚ） ｔａｎ Ｎ 一 ． 过程略． 解法４对Ｃｚ分椭圆和双曲线讨论，然 后分别求出每种情况△Ｆ。ＮＦ２的面积的最 大值，从而确定是否有ｍ满足条件．然后用 到角公式来体现ｔａｎ Ｆ１ＮＦ２），过程略． ２解答中的错误及答卷中存在的问题 错误１：对曲线Ｃ的各种情形讨论不完 全，顾此失彼； ，错误２：在△ ＮＦ２的面积上不知如何 体现； 错误３：在ｔａｎ／Ｆ。ＮＦ２的转化上不知 如何下手； 错误４：计算不准确． 问题ｌ：审题不清，俗话说“成在审题，败 在审题”，考生由于审题不够细心而出错现象 比较普遍、频繁，导致失误的因素有主观臆 断、遗漏条件； ４６ 数学教学研究 第３ｌ卷第５期２０１２年５月 问题２：运算能力差； 问题３：表述不规范，抓不住重点； 问题４：基础知识不牢固，应变能力差． ３ 几点启示 ３．１回归课本 在课外资料中挖洞，造成学生双基不牢．这启 示我们平时复习要将回归课本落到实处． ３．２注重基础 重视双基是我国基础教育的瑰宝，对此 老师们心知肚明，但平时教学中总觉得抓容 本题来源于课本，但高于课本．事实上， 易题不如讲难题能征服学生，于是课堂教学 中舍不得花时间夯实双基．解析几何在高考 人教社数学选修２一Ｉ（Ａ版）＿教材中几处涉及 与之相关的问题： 中占有一定的比例，有些题目不是特别难，比 （１）第４１页例３：设点Ａ，Ｂ的坐标分别 为（一５，Ｏ），（５，０），直线ＡＭ，ＢＭ相交于点 Ａ Ｍ，且它们的斜率之积是一鲁，求点Ｍ的轨 Ｊ 迹方程． （２）第４２页练习４：设点Ａ，Ｂ的坐标分 别为（一１，０），（１，０），直线ＡＭ，ＢＭ相交于 点Ｍ，且直线ＡＭ的斜率与直线ＢＭ的斜率 之商是２，点Ｍ的轨迹是什么？为什么？ （３）第５５页探究：设点Ａ，Ｂ的坐标分别 为（一５，Ｏ）（５，０），直线ＡＭ，ＢＭ相交于点 Ａ Ｍ，且它们的斜率之积是罟，Ｊ 试求点Ｍ的轨 迹方程，并由点Ｍ的轨迹方程判断轨迹的形 状，与２．２例３比较，你有什么发现？ （４）第７４页习题Ｂ３．设点Ａ，Ｂ的坐标 分别为（一１，０），（Ｉ，０），直线ＡＭ，ＢＭ相交 于点Ｍ，且直线ＡＭ的斜率与直线ＢＭ的斜 率之差是２，求点Ｍ的轨迹方程． （５）第８Ｏ页第１０题：已知三角形ＡＢＣ 的两个顶点Ａ，Ｂ的坐标分别为（一５，Ｏ），（５， Ｏ），直线ＡＣ，ＢＣ所在直线的斜率之积是１７７． （ ≠Ｏ），试探求顶点Ｃ的轨迹． （６）第８１页第５题：已知点Ａ，Ｂ的坐标 分别为（一ｌ，０），（１，０），直线ＡＭ，ＢＭ相交 于点Ｍ，且它们的斜率之和是２，求点Ｍ的 轨迹方程． 这道高考题是由上述问题（５ ）演变而来 的．今年的湖北卷有不少试题是源于课本，平 时教学中挖掘教材习题的难度不够，一味地 如本题第一问，不少考生会做，但就是做不 对，原因较多，主要还是与基本功不扎实、运 算能力弱有关．这启示我们平时复习中要抓 基础，抓课本，注重基础知识基本技能，只要 基础扎实，就能以不变应万变，没有必要搞 “题海战术”． ３．３对学生答题的建议 参加高考数学阅卷工作，感触颇深，如何 在高考有限时间内发挥自己的水平，对每个 考生来说是很重要的一件事，以下５个方面 对考生解答高考数学题应有帮助． １）有的考生对审题不够重视，匆匆一看 急于下笔，以致题目条件与要求都没有吃透， 至于如何从题中挖掘隐含条件、启发解题思 路就更无从谈起，这样解题出错自然多． ２）要将解题策略转化为得分点，主要靠 准确完整的数学语言表述，这一点往往被一 些考生所忽视．因此卷面上大量出现“会而不 对”“对而不全”的情况，考生自己估分与实际 得分差之甚远．对于有思路、会做的题目，摆 出要点很重要，过程要清晰，不必每步都写在 试卷上，否则反而会起到喧宾夺主的反作用， 我们阅卷中就发现有学生写到后来空间不够 了，超出范围的部分不给分．对于不会做（做 不到底）的题 目，不能轻易放弃，写出一些相 关的公式或知识，往往会有一些分数的．另 外，除非有更好的解答或确信自己做错了，否 则千万不要把自己已经写上去的内容划掉， 我们在阅卷的时候时常会见到这样的情形， （下转第４９页） 第３１卷第５期２０１２年５月 数学教学研究 ４９ （上接第４６页） “多题把关”，因此解答题都设置了层次分明 学生自己把得分点给划掉了，让我们看得很 的“台阶”，人口宽，人手易，但深入难，解到底 痛心．其实即使是错误的内容保留在那里没 难．因此看似容易的题也会有“咬手”的时候， 有划掉，阅卷时有时也是视而不见的，不会倒 看似难做的题也有可得分之处．所以考试中 扣分．只有重视解题过程的表述，“会做”的题 看到“容易题”不可掉以轻心，看到新面孔的 才能“得分”． 难题不要胆怯，冷静思考，仔细分析，定能得 ３）在目前题量大、时间紧的情况下，“准” 到应有的分数． ’ 字则尤为重要，只有“准”才可不必考虑花时 ５）教学中应注重培养学生正确的应试心 间检查．而“快”是平时训练的结果，不是考场 态和答题策略．今年的试卷对学生在考试中 上所能解决的问题，一味求快只会落得错误 遇到难点及不顺，面对新题及困难时的心态 百出，适当慢一点、准一点，可得多一点分；相 调整和战胜困难的勇气等非智力因素提出了 反，快一点，错一片，花了时间还得不到分． 新要求．有些平时成绩还不错的学生，在这次 ４）拿到试卷应将全卷通览一遍，一般来 高考中因面对暂时的困难不懂得迂回前进的 说按先易后难、先简后繁的顺序作答．在答题 策略，结果导致前松后紧，只能眼睁睁看着后 时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上 面容易拿分的题目拿不到分，实在可惜．因 打“持久战”，那样既耗费了时间又拿不到分， 此，我们在平时的教学中应该多关注学生的 会做的题又被耽搁了，有时追求完美并不是 学习心理和应试心态的变化，在答题策略上 一件好事，其结局往往是被吊死在了一棵树 多给予指导，这对学生提高考试成绩会有很 上．所以要懂得合理放弃，有所失才会有所 大的帮助． 得．近年来，数学试题已从“一题把关”转为 （收稿日期：２０１１。１２．２９）