任意截面抗弯强度计算方法

中铁二院科技研究开发计划项目

分报告一

截面抗弯强度验算原理

设计者：岳 强 复核者：

报告单位：中铁二院工程集团有限责任公司

二〇一〇年一月

目 录

第1章砼截面抗弯计算 .................................................................................................................. 3 1、砼截面抗弯公式 ........................................................................................................................ 3

1.1 截面受力图示................................................................................................................... 3 1.2 公式推导 .......................................................................................................................... 3

1.2.1 简化公式 (1) ....................................................................................................... 3 1.2.2 简化公式 (2) ....................................................................................................... 4 1.2.3合并公式(3-2）、（4-2）...................................................................................... 4 1.2.4 分析公式(5-1）................................................................................................... 5 1.3 特别情况 .......................................................................................................................... 7

1.3.1 纯弯....................................................................................................................... 7 1.3.2 大小偏心界线时 ................................................................................................... 7 1.3.3 大小偏心界线时检查式（5） ............................................................................. 7

2、极限弯矩计算（砼应力最大时） ............................................................................................. 8

2.1 荷载图示 .......................................................................................................................... 8 2.2 极限应力时中性轴位置................................................................................................... 8 3、极限弯矩计算（钢筋应力最大时） ......................................................................................... 9 4、弯矩增加系数 .......................................................................................................................... 10

抗弯计算公式-1/30/2019

第1章砼截面抗弯计算

1、砼截面抗弯公式

1.1 截面受力图示

截面作用单向荷载时，截面轴力N,弯矩为M,暂假定中性轴与弯矩方向平行，截面受力图示见图1-1，图中C为全截面质心（含钢筋）。

图1-1 截面受力图示

1.2 公式推导

计算中性轴的位置，在局部坐标系（x’,y’,z’）中推导。轴力的方向以Z坐标轴正方向为正，弯矩M方向以绕x轴正向为负。

Fz''0,NzdAzgdAggdAg0 ，⑴

Mx0，N''*ycMzdAygdAgygdAgy0，⑵

式中：N 为轴力，M为弯矩；Ag为钢筋面积，Az为砼面积；Yc为重心轴到

到z’轴(截面底)距离，y为截面砼或钢筋积分点到z’轴距离。 1.2.1 简化公式 (1)

由式E，代入式（1）中，可得，

'''，合并截面中受拉、受压钢NEzzdAzEggdAgEggdAg0

筋，简化可得，NEzdAEggdAg0 。

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按应力、应变的平截面假定，即zk(yHys),gk(yHys)，中心轴以上为正，k为常数，由上式可得

NEk(yHys)dAEgk(yHys)dAg0 ，加入积分范围得

ypNEzk(yHys)dAzEgk(yHys)dAg0

0⑶

设S为截面的面积矩，砼对中性轴面积矩S（中性轴以下为负），钢筋对中性轴面积矩Sg（中性轴以下为负，中性轴以上为正），截面或换算截面对中性轴的惯性矩I。

则上式可得，

NEzk(Hys)AzEkSEgk(Hys)AgEgkSg0 （3-1）

式中Sz为受压区砼对中性轴的面积矩，Sg为钢筋对中性轴的面积矩。简化得

NE(Hys)AESEg(Hys)AgEgSg0,即得 kNEz(Hys)AzESzEg(Hys)AgEgSg （3-2） k1.2.2 简化公式 (2)

''dAgygdAgy0，由(2)式得 N*(eyc)zdAyg再得，

0yp'''N*(eyc)EzdAyEggdAgyEggdAgy0，

0ypN*(eyc)EzdAyEggdAgy00ypN*(eyc)Ek(yHys)dAyEgk(yHys)dAgy0，可得，N*(eyc)Ek(yHys)ydAEgk(yHys)ydAg0

0yp上式得

N*(eyc)Ek(Hys)SEkIEgk(Hys)SgEgkIg0 可得，

⑷

N(eyc)E(Hys)SEIEg(Hys)SgEgIg0,（4-2） k1.2.3合并公式(3-2）、（4-2）

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由（3-2）式：

NE(Hys)AESEg(Hys)AgEgSg， kE(Hys)AESEg(Hys)AgEgSg(eyc) 代入（4-2）式可得，

E(Hys)SEIEg(Hys)SgEgIg0(Hys)AzSzn(Hys)AgnSg(eyc)设n,则上式可得， ，

Ez(Hys)SzIn(Hys)SgnIg0Egys为截面中性轴到截面上缘距离，yp为截面中性轴到截面下缘距离，yp=H-ys，分离出ys得，

(Hys)(A(eyc)nAg(eyc)SnSg)S(eyc)nSg(eyc)InIg0HysSz(eyc)nSg(eyc)IznIg'Az(eyc)nAg(eyc)SznSg，再简化可得

Hys(SnSg)(eyc)InIg(AnAg)(eyc)SnS'g，即

HysIznIg(SznSg)(eyc)'SznSg(AznAg)(eyc)， (5)

HysI0S0(yce)，（5-1），I0为换算截面对z轴的惯性矩，S0为换算截

S0A0(yce)面对z轴面积矩，A0为换算截面面积。

1.2.4 分析公式(5-1）

由式E=M/n,代入式（5-1）：HysI0S0(ycM/N)，

S0A0(ycM/N)HysNI0S0(NycM) ，（5-2），

NS0A0(NycM)NI0S0(NycM)

NS0A0(NycM)中性轴位置 ysH (5-3)

考虑程序计算把式(5-3)简化

，即 NI0S0(NycM)NS0A0(NycM)(ysH)0 （5-4）

F(N,M)=N*[I0-S0*yc+(S0-A0*yc)*(ys-H)]+M*[S0+A0*(ys-H)]=0

F(N,M)=N*[I0+S0*(ys-H-yc)+A0*yc*(H-ys)]+M*[S0+A0*(ys-H)]=0再得:F(N,M)=N*[I0-S0*(H-ys+yc)+A0*yc*(H-ys)]+M*[S0-A0*(H-ys)]=0

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可得: F(N,M)=N*[I0-S0*(yp+yc)+A0*yc*yp]-M*[A0*yp-S0]=0 (6)

F(yp)=N*[I0-S0*(yp+yc)+A0*yc*yp]-M*[A0*yp-S0]

(7)

程序采用式（7）迭代可得到中性轴位置yp 。

1.2.5 牛顿切线迭代法

d(F(yp))=d{N*[I0-S0*(yp+yc)+A0*yc*yp]-M*[A0*yp-S0]} d(F(yp))=N*d{[I0-S0*(yp+yc)+A0*yc*yp]}-M*d{[A0*yp-S0]} d(F(yp))=N*{dI0-dS0*(yp+yc)-S0*d(yp+yc)+dA0*yc*yp+A0*d(yc*yp)} -M*{dA0*yp+A0*dyp-dS0}ypyp2pyp

假定：I0=ydA,S0=蝌00ypdA,A0=?1dA。yc=0S0A0,dyc=dS0A0=ypdypA0+S0*dyp2A0,

轾ypA0*yp+S0S0dyc=犏+dy=dy。 犏p22AA0犏臌0A021d(F(yp))=N*ypdyp-ypdyp*(yp+yc)-S0*d(yp+yc)+1dyp*yc*yp+A0*d(yc*yp) -{M*{ydy1p2pp1*yp+A0*dyp-ypdyp}}

}}221d(F(yp))=N*ypdyp-ypdyp-yc*ypdyp-S0*dyp-S0*dyc+yc*yp*dyp+A0*d(yc*yp) -{M*{ydy2pp1+A0*dyp-ypdyp}221d(F(yp))=N*ypdyp-ypdyp-yc*ypdyp-S0*dyp-S0*dyc+yc*yp*dyp+A0*ypdyc+A0*ycdyp -{M*{y+A0-ypdyp}禳镲A0*yp+S0A0*yp+S0镲221d(F(yp))=睚yp-yp-yc*yp-S0-S0*+y*y+A*y+A0*yc*Ndypcp0p22 镲AA镲00镲铪2 -yp+A0-yp*Mdyp{}2禳镲S0ypS0S0yp镲2F(yp)=睚-S0--2+yp++A0*yc*N 镲AAA镲000镲铪2 -yp+A0-yp*M'{}2轾S022犏化简得：F(yp)=犏-S0-2+yp+A0*yc*N-轾yp+A0-yp*M 。 犏臌A犏0臌'n+1迭代计算式：yp=nyp-F(yp)F(yp)'.

（8）

1.2.6 直接迭代

由式F(yp)=N*[I0-S0*(yp+yc)+A0*yc*yp]-M*[A0*yp-S0]=0，可得

yp = ((Ix - Ax * yc) * fN + Ax * fM) / (Ax - A * yc) * Fn + A * fM)

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1.3 特别情况

作用荷载在截面重心轴时，轴力N，弯矩M，eM；式中SAy，NSgAgy。

1.3.1 纯弯

若N=0时，即纯弯，F(N,M)=0, 得 A0*yp-S0=0 ，中性轴 yp1.3.2 大小偏心界线时

w*ycw*若ys0时即大小偏心界线时，由（5-2）式得ysyc，ysyc(1)，

eeS0。 A0式中w*为核心矩, w*为偏心矩。

1.3.3 大小偏心界线时检查式（5）

检查式（5）取临界大偏心时，即截面上缘刚受拉时，即Ys=0 求下缘受拉时的核心矩e上 ，为换算截面惯性矩，可得。

INNe上yc，得核心矩e上c（1.3-1），式中IcAycAIcII'Ayc2式 eyc，（yc），I,S为坐标系Z’中的截面特性值 。

SAyc第 7 页 共 10 页

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2、极限弯矩计算（砼应力最大时） 2.1 荷载图示

2.2 极限应力时中性轴位置 根据截面应力计算式 s=IsM*ycIs=+NAs （2-1），Is,As为在新重心轴s下的值。

M*ytNAs由上式得s=yN*(c+1)Asyt，再得s=y+ytN*(c)，截面AsytSx,Ax为在x坐标下特性

ypSxyp-Ax)，可得

值，yt=yp-yc可得 s=ypNNSx,可得 s=*(),由式,yc=*(Asyp-ycAsAx s*As*(yp-SxSx)=N*yp,可得F(yp)= s*As*yp-s*As*-N*yp=0 AxAxF(yp)= s*Ax*yp-s*Sx-N*yp=0 (2-2)

由式（2-2）可求得中性轴位置。

2.3 极限弯矩

由式（2-1）可得弯矩值，可得

M=s*(Ix-Ax*yc2)yc+ytM=s*Isyc+yt，Ix=Is+A*yc^2,可得

，yp=yc+yt简化得M=s*(Ix-Ax*yc2)yp，式中,yc=Sx。 Ax

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3、极限弯矩计算（钢筋应力最大时）

sg=-M*ygg*nI+NA,（3-1），

M*ytI=NA，（3-2） SS,ygg=yg-AAn*yggN由上两式得sg=*(-+1)Ayt，（3-3），式中：yt=yp-yc=yp- 再得，sg=n*yggn*yggN*(1-) , sg*A=N*(1-) ASSyp-yp-AAn*yggyp-SAsg*A=N-N*,sg*A*(yp-S)=N*(yp-S)-N*n*ygg. AAS)-N*n*ygg. AS)+N*n*yggAsg*(A*yp-S)=N*(yp-F2(yp)=sg*(A*yp-S)-N*(yp- , F2(yp)=sg*(A2*yp-A*S)-N*(A*yp-S)+N*A*(yg-S/A)*nF2(yp)=sg*(A2*yp-A*S)-N*(A*yp-S)+N*A*yg*n-N*S*n F2(yp)=sg*(A2*yp-A*S)-N*(A*yp-S-A*yg*n+S*n) （3-8） F2(yp)=-N*(A*yp-A*yg*n+(n-1)*S)-sg*A*(S-A*yp)F2(yp)=N*(A*(yg*n-yp)-(n-1)*S)+sg*A*(A*yp-S) （3-9） (Ix-S*yp)(S-A*yp)M=N*(yc-（3-10） ) ，

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程序中极限弯矩计算式为：

Mmax = -N * (Ax * (yp + y01) - A * yp * y01 - Ix) / (A * yp - Ax)

MmaxI(=N * x-Ax*(yp+ y01)+A*yp*y01(A*yp-Ax))

4、弯矩增加系数

【09-8-10】 增加弯矩增大系数。

【10-01-12】修改公式。 η=1/(1-t),t= k*N骣，çççç桫a*p2*EIc÷c*÷L2÷÷÷0a= 0.1骣+0.16 。

çççe0÷ç桫0.2+h÷÷÷第 10 页 共 10 页