人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元练习
1. 在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3，则下列各式中成立的是( )
2222A．sin B＝3 B．cos B＝3 C．tan B＝3 D．sin A＝3 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE∶BE＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接BF，则tan ∠CFB的值是( )
32353
A.3 B.3 C.3 D．53
3. 为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正切值是( )
A.
114 B．4 C.4 D.17 17
4. 计算4sin60°－3tan30°的值为( ) A.3 B．23 C．33 D．0
5. 计算sin245°＋cos245°的值为( ) A．2 B．1 C．0 D．3
6. sinα＝0.231 6，cosβ＝0.231 6，则锐角α与锐角β之间的关系是( )
A．α＝β B．α＋β＝180° C．α＋β＝90° D．α－β＝90°
7. 在△ABC中，∠C＝90°，下列各式中不正确的是( )
ba
A．b＝a·tanB B．a＝b·cosA C．c＝sinB D．c＝cosB 8. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是( )
5003
A．250 m B．2503 m C.3 m D．2502 m 9. 王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，已知水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD的高度为( )
103
A．(24－3)m B．(24－103) m C．(24－53) m D．9 m
10. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶3，
则AB的长为( )
A．12 m B．43 m C．53 m D．63 m 11. 使用计算器计算：sin52°18′≈________．(精确到0.001) 12. 已知cosβ＝0.741 6，利用计算器求出β的值约为________．(精确到1°)
13. 计算： (1＋sin 40°)(1－cos 50°)＋sin240＝________
14. 计算：(4cos 30°sin 60°)2＋(－2)－1－(2 017－2 018)0＝________
15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，b＝53，则∠A＝________，S△ABC＝________．
16. 在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝92，点D在BC边上，连接1
AD，若tan∠CAD＝3，则BD的长为________．
17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan ∠BOC＝m，则m的取值范围是________．
18. 在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是________． 19. 计算：
(1) sin30°＋cos45°；
(2) sin260°＋cos260°－tan45°.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
22. 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6
九年级数学下册第28章 锐角三角函数单元检测卷
时间120分钟 分数120分
一、选择题（每小题3分计30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D )
1
A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的
5
C．扩大为原来的10倍 D．不变
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( A ) 3434A. B. C. D. 43553.计算2cos60°的结果为( A ) 1A．1 B.3 C.2 D. 2
3
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于(B )
564481612A. B. C. D. 252555
2
5．如图K－17－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为
3( A )
图K－17－3
A．4 B．25 C.
18131213
D. 1313
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下
列结论正确的是( A )
A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b
7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( B )
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
3.5
cos29°
8.如图K－22－4，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )
图K－22－4
A．20(3＋1)米/秒 B．20(3－1)米/秒
C．200米/秒 D．300米/秒
9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( B )
A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米
10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( A )
图K－20－3
A.
11
米 B.米
1－sinα1＋sinα
C.
11
米 D.米
1－cosα1＋cosα
二、填空题（每小题3分计18分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________． 3
[答案]
4
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________． [答案] 3 7
13.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________． [答案] 30°
14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)
图K－21－5
[答案] 15.3
15.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．
[答案]43－4
16.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).
图K－22－7
[答案] (8 3－5.5)
三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）
17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋BC2＝12＋22＝5(cm)，
BC22 5
∴sinA＝＝＝，
AB55
sinB＝
AC15＝＝. AB55
255
，sinB＝. 55
18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.
(1)求sin∠BAC的值；
(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长； (3)求tan∠ADC的值.
即sinA＝
图K－17－12
解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AB＝5，BC＝3，
BC3
∴sin∠BAC＝＝.
AB5
(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心， ∴E是AC的中点，
13
∴OE＝BC＝.
22(3)∵AC＝AB2－BC2＝4，
AC4
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝.
BC3
19.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)
图K－18－4
解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，
CD3
∴cos30°＝＝，
802解得CD＝40 3(cm)．
即支架CD的长为40 3 cm.
(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，
OC3
∴tan30°＝＝，
1653
解得OC＝55 3(cm)，
∴OA＝2OC＝110 3 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 3－40 3＝15 3(cm)，AB＝OA－OB＝110 3－15 3＝95 3(cm)．
即真空热水管AB的长为95 3 cm.
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．
(1)b＝10，∠A＝60°；
(2)a＝25，b＝2 15
解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
bb1010
∵cosA＝，∴c＝＝＝＝20，
ccosAcos60°1
2∴a＝c2－b2＝202－102＝10 3.
(2)c＝a2＋b2＝（2 5）2＋（215）2＝4 5.
a2 53
∵tanA＝＝＝，
b2153
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
21. 甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么
下午1时两艘轮船相距多少海里？
解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．
人教新版九年级下学期《第28章锐角三角函数》单元综合练习题
一．选择题
1．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ） A．0＜a＜1
B．1＜a＜2
C．2＜a＜3
D．3＜a＜4
2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ） A．cos43°＞cos16°＞sin30° C．cos16°＞cos43°＞sin30° 3．当A为锐角，且＜cos∠A＜
B．cos16°＞sin30°＞cos43° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45° 4．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，那么sinA的值是（ ） A．
B．
C．
D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝50°，那么AB等于（ ）
A．asin50° B．atan50° C．acos50° D．
7．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
8．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（ ）
A．6+2 B．6 C．10﹣ D．8
9．如图，在斜坡EF上有一信号发射塔CD，某兴趣小组想要测量发射塔CD的高度，于是在水平地面用仪器测得塔顶D的仰角为31°，已知仪器AB高为2m，斜坡EF的坡度为
i＝3：4，塔底距离坡底的距离CE＝10m，最后测得塔高为12m，A、B、C、D、E在同
一平面内，则仪器到坡底距离AE约为（ ）米
（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
A．18.6 B．18.7 C．22.0 D．24.0
10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB于F，
连接FC，则tan∠CFB等于（ ）
A． B． C． D．
11．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣A．直角（不等腰）三角形 C．等腰（不等边）三角形
2
）＝0，则△ABC是（ ）
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
13．如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosa B． C．5sina D．
14．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（ ）
A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20
15．下列式子错误的是（ ） A．cos40°＝sin50° C．sin225°+cos225°＝1
B．tan15°•tan75°＝1 D．sin60°＝2sin30°
16．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（
）
B．（﹣
）0，（﹣
）
C．（﹣
）
D．（﹣
）
17．将（﹣sin30°）﹣2，（﹣结果是（ ） A．（﹣sin30°）﹣2＜（﹣B．（﹣sin30°）﹣2＜（﹣C．（﹣D．（﹣
）3＜（﹣）0＜（﹣
）3这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的
）0＜（﹣）3＜（﹣
）3 ）0
）0＜（﹣sin30°）﹣2 ）3＜（﹣sin30°）﹣2
18．在△ABC中，sinB＝cos（90°﹣C）＝，那么△ABC是（ ） A．等腰三角形 C．直角三角形 二．填空题
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，BC＝3计算器计算，结果精确到0.01）
20．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为 米．
，则AC的长为 ．（用科学
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
21．计算：2sin30°+2cos60°+3tan45°＝ ．
22．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．
23．已知：tanx＝2，则＝ ．
24．计算：cot44°•cot45°•cot46°＝ ．
25．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，则sinA﹣sinB＝ ．
26．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是 ．
27．选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分）
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，BC＝6，那么AB＝ ．（用计算器计算，结果精确到0.1）
（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝
，则
﹣4cosα﹣（
﹣1）0+tanα＝ ．
28．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝
×
+×
＝1．类似地，可
以求得sin15°的值是 ．
29．如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB＝AC＝67cm，BC＝30cm，则∠ABC的大小约为 °（结果保留到1°）．
30．如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120°角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD＝米（计算结果保留根号）．
米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为
三．解答题（共10小题）
31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长； （2）求sin∠BAD的值．
32．计算： （1）
cos30°+
sin45°；
sin 60°﹣2sin 45°．
＝
．
（2）6tan230°﹣
33．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：
34．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，
（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm． （1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
35．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°． （1）求坡高CD；
（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）． 参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．
36．如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为45°，此时该同学距地面高度AE为20米，电梯再上升5米到达D点，此时测得大楼BC楼顶
B点的仰角为37°，求大楼的高度BC．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
37．如图，某船于上午11时30分在A处观察海岛B在北偏东60°，该船以10海里/小时
的速度向东航行至C处，再观察海岛在北偏东30°，且船距离海岛20海里 （1）求该船到达C处的时刻．
（2）若该船从C处继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？
38．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据
≈1.41，
≈1.73）
39．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
40．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
参考答案
一．选择题
1．解：∵tan45°＝1，tan60°＝
，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，
，
∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜则1＜a＜2， 故选：B．
2．解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选：C．
3．解：∵cos60°＝，cos30°＝∴30°＜∠A＜60°． 故选：B． 4．解：tanA＝由勾股定理，得
＝，BC＝x，AC＝3x，
，
AB＝
sinA＝
x，
＝
，
故选：B．
5．解：∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝2， ∴BC＝∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝α， ∴cosα＝cosB＝故选：A．
＝
＝
，
＝4
，
6．解：根据题意，在Rt△ABC，有AC＝a，∠ACB＝50°，且tan50°＝则AB＝AC×tan50°＝a•tan50°， 故选：B．
7．解：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F， ∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，
∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°， 即EF与l2，l3，l4都垂直， ∴DE＝1，DF＝2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， 又∵∠α+∠ADE＝90°， ∴∠α＝∠CDF，
∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°， ∴△ADE≌△DCF， ∴DE＝CF＝1， ∴在Rt△CDF中，CD＝∴sinα＝sin∠CDF＝故选：B．
＝
＝
＝．
，
，
8．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°， 则AE＝PE＝x米； ∵∠PBE＝60° ∴∠BPE＝30° 在直角△BPE中，BE＝∵AB＝AE﹣BE＝6米， 则x﹣
PE＝x米，
x＝6，
． +3）米．
解得：x＝9+3则BE＝（3
在直角△BEQ中，QE＝∴PQ＝PE﹣QE＝9+3
BE＝
﹣（3+
（3）＝6+2
+3）＝（3+（米）．
）米．
答：电线杆PQ的高度是6+2故选：A．
米．
9．解：延长DC交直线AE于点M，过点B作BN∥AM交DM于点N． ∵DM⊥AE，AB⊥AE，BN∥AM，
∴△CEM、△BDC是直角三角形，四边形ABNM是矩形． ∴BN＝AM，AB＝MN＝2m．
在Rt△CEM中，由于CE＝10m，i＝3：4＝CM：EM． ∴CM＝EM ∵CE2＝CM2+EM2 ∴EM＝8m，CM＝6m．
∴CN＝CM﹣MN＝4m，DN＝DC+CN＝12+4＝16（m） 在Rt△CDB中，∵tan∠DBN＝
，
∴AM＝BN＝＝≈≈26.67（m），
∴AE＝AM﹣EM＝26.67﹣8≈18. 7（m） 故选：B．
10．解：如图，作出CD⊥AB，垂足为D，则EF∥CD， ∴设EC＝X，则AE＝3X，sinA＝sin30°＝EF：AE＝1：2， ∴EF＝X，
∵cosA＝cos30°＝AF：AE＝∴AF＝
，
X．
∵EF∥CD， ∴
＝
＝3，＝
＝
＝，
∴FD＝X，CD＝EF＝2X，
＝
＝
．
∴tan∠CFB＝故选：C．
11．解：由|tan2B﹣3|+（2sinA﹣tan2B﹣3＝0，2sinA﹣
＝0，
）2＝0，得
由∠A，∠B均为锐角，得 tanB＝
，sinA＝
，
A＝60°，B＝60°，
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠C＝∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选：B．
12．解：作DE⊥AB于E，如图， ∵∠C＝90°，AC＝BC＝6， ∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝∴∠A＝45°，
在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x， 在Rt△BED中，tan∠DBE＝∴BE＝5x， ∴x+5x＝6∴AD＝
×
，解得x＝＝2．
，
＝，
AC＝6，
故选：A．
13．解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α， 则两树在坡面上的距离AB＝故选：B．
14．解：根据题意得：AB＝8米，DE＝20米，∠A＝30°，∠EBC＝45°， 在Rt△ADE中，AE＝∴BE＝AE﹣AB＝20
．
DE＝20
﹣8（米），
米，
在Rt△BCE中，CE＝BE•tan45°＝（20∴CD＝CE﹣DE＝20故选：C．
﹣8﹣20＝20
﹣8）×1＝20﹣8（米），
﹣28（米）；
15．解：A、sin40°＝sin（90°﹣50°）＝cos50°，式子正确；
B、tan15°•tan75°＝tan15°•cot15°＝1，式子正确；
C、sin225°+cos225°＝1正确； D、sin60°＝
故选：D． 16．解：∵sin60°＝∴点M（﹣
）．
，cos60°＝，
，sin30°＝，则sin60°＝2sin30°错误．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n）， ∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣故选：B．
17．解：（﹣sin30°）﹣2＝（﹣）﹣2＝4， （﹣（﹣∵﹣3∴（﹣
）0＝1， ）3＝﹣3＜1＜4， ）3＜（﹣
）0＜（﹣sin30°）﹣2． ．
）．
故选：C．
18．解：sinB＝cos（90°﹣C）＝， 即sinB＝，∴∠B＝30°； cos（90°﹣C）＝， ∴90°﹣∠C＝60°， ∴∠C＝30°， ∴∠C＝∠B．
∴△ABC是等腰三角形． 故选：A．
二．填空题（共12小题） 19．解：tan 42≈0.9004，
＝0.9004，
AC≈8.16，
故答案为：8.16．
20．解：作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，CD＝270米． 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝∴AD＝
＝90
．
， ＝90． ，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝∴BD＝AD•tan30°＝90
×
∴BC＝CD﹣BD＝270﹣90＝180． 答：这栋大楼的高为180米． 故答案为180．
21．解：2sin30°+2cos60°+3tan45° ＝2×+2×+3×1 ＝5．
22．解：连接AC，
由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°， 根据勾股定理得，AC＝则tan∠ABC＝故答案为：．
＝，
，AB＝2
，
23．解：分子分母同时除以cosx，原分式可化为：当tanx＝2时，原式＝故答案为：．
＝．
，
24．解：cot44°•cot45°•cot46°＝cot44°•cot46°•cot45°＝1•cot45°＝1． 25．解：（sinA+sinB）2＝（）2， ∵sinB＝cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝∴2sinAcosA＝
﹣1＝
，
＝
，
，
则（sinA﹣sinB）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA＝1﹣∴sinA﹣sinB＝±． 故答案为：±．
26．解：过点A作AB⊥x轴于B， ∵点A（3，t）在第一象限， ∴AB＝t，OB＝3， 又∵tanα＝∴t＝． 故答案为：．
＝＝，
27．解：（1）在△ABC中BC＝AB•sinA，
即AB＝故答案为10.0
＝10.0，
（2）因为α是锐角，且sin（α+15°）＝﹣4cosα﹣（故答案为0．
﹣1）0+tanα＝2
﹣4×
，得出α＝45°（因为sin60°＝﹣1+1＝0．
），
28．解：sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°＝＝故答案为
．
．
•﹣•
29．解：过点A作AM⊥BC于M， ∵AB＝AC＝67cm，BC＝30cm， ∴BM＝BC＝15cm， ∴cos∠ABC＝
＝
≈0.227，
∴∠ABC≈77°， 故答案为：77．
30．解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝10米，CD＝
米，
（米），
∴在直角△CPD中，DP＝DC•tan60°＝3m，PC＝CD÷（sin30°）＝2∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°， ∴△PDC∽△PBO， ∴
＝
， ＝
＝10
（米），
∴PB＝
∴BC＝PB﹣PC＝10故答案为：8
．
﹣2＝8（米）．
三．解答题（共10小题）
31．解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x， ∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2， ∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x， 解得：x＝2， 则AC＝6、BC＝8， ∴AB＝
（2）作DE⊥AB于点E， 由tanB＝
＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
＝10；
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去）， ∴DE＝3a＝，
∵AD＝∴sin∠BAD＝
＝
＝6
．
，
32．解：（1）把cos30°＝
（2）tan30°＝，sin60°＝
，sin45°＝，代入得：原式＝×+×＝；
，sin45°＝代入得：原式＝6×﹣×﹣2×
＝﹣
．
33．证明：过A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB， 在Rt△ADC中，sinC＝， ∴AD＝ACsinC， ∴ABsinB＝ACsinC， 而AB＝c，AC＝b， ∴csinB＝bsinC， ∴
＝
．
34．解：（1）作BH⊥AF于点G，交DM于点H． 则BG∥CF，△ABG∽△ACF． 设圆形滚轮的半径AD的长是xcm． 则
＝
，即
＝
，
解得：x＝8．
则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；
（2）CF＝73.5﹣8＝65.5（m）．
则sin∠CAF＝＝≈0.77，
则∠CAF＝50°．
35．解：（1）在Rt△BCD中，CD＝BCsin12°≈10×0.21＝2.1米． （2）在Rt△BCD中，BD＝BCcos12°≈10×0.98＝9.8米； 在Rt△ACD中，
米，
AB＝AD﹣BD≈23.33﹣9.8＝13.53≈13.5米．
答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米． 36．解：过点E、D分别作BC的垂线，交BC于点F、G． 在Rt△EFC中，因为FC＝AE＝20，∠FEC＝45°， 所以EF＝20，
在Rt△DBG中，DG＝EF＝20，∠BDG＝37° 因为tan∠BDG＝
≈0.75，
所以BG≈DG×0.75＝20×0.75＝15， 而GF＝DE＝5，
所以BC＝BG+GF+FC＝15+5+20＝40． 答：大楼BC的高度是40米．
37．解：（1）根据题意得：∠A＝30°，∠BCD＝60°，BC＝20海里，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠A＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABC＝∠A， ∴AC＝BC＝20（海里）， ∵船的速度为10海里/时， ∴20÷10＝2（小时），
∴船到达C点的时间为：13时30分；
（2）在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，BC＝20海里， ∴CD＝BC•cos60°＝20×＝10（海里）， ∵10÷10＝1（小时），
∴在14时30分到达B岛正南的D处． 38．解：过C作CD⊥AB， 设CD＝x米， ∵∠ABE＝45°， ∴∠CBD＝45°， ∴DB＝CD＝x米， ∵∠CAD＝30°， ∴AD＝
CD＝x米，
∵AB相距2米， ∴
x﹣x＝2，
+1≈2.73，．
解得：x＝
答：命所在点C与探测面的距离2.73米．
39．解：在Rt△ADC中，∵AD：DC＝1：2.4，AC＝13， 由AD2+DC2＝AC2，得AD2+（2.4AD）2＝132．
∴AD＝±5（负值不合题意，舍去）． ∴DC＝12．
在Rt△ABD中，∵AD：BD＝1：1.8， ∴BD＝5×1.8＝9．
∴BC＝DC﹣BD＝12﹣9＝3．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米． 40．解：在Rt△ABD中， ∵tan∠BAD＝
，
＝40
（米），
∴BD＝ADtan30°＝120×在Rt△ADC中， ∵tan∠CAD＝
，
∴CD＝ADtan65°＝120tan65°， ∴BC＝BD+CD＝40
+120tan65°．
+120tan65°）米．
答：这栋高楼的高度为（40
人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数单元练习题（含答案）含答案
一、选择题 1.已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( ) A． AC10N B． SHIET C． MODE D． SHIFT
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为( ) A．B．C．
D．
3.已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是( ) A．B． 2C． 3 D．
4.在某次海上搜救工作中，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是( ) A． 5B． 10
km km
C． 10 km D． 20 km
5.．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40
海里的A处，它沿正南方向航
行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为( )
A． (40＋40B． (80
)海里
)海里
)海里
C． (40＋20D． 80海里
6.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的高度CD为( )
A． 47 m B． 51 m C． 53 m D． 54 m
7.将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若AB∶BC＝4∶5，则cos ∠AFE的值为( )
A． 4∶5 B． 3∶5 C． 3∶4 D．
8.已知tanα＝6.866，用计算器求锐角α(精确到1″)，按键顺序正确的是( ) A．
B．
C． D．
9.cos 60°的值等于( ) A．
B． 1 C．
D．
10.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(
)
A． B． 1 C．D．
二、填空题 11.若cosA＞cos 60°，则锐角A的取值范围是________． 12.比较下列三角函数值的大小：sin 40°__________ sin 50°.
13.已知，△ABC中，AB＝5，BC＝4，S△ABC＝8，则tanC＝________________. 14.△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sinB＝________. 15.计算：sin 45°sin 60°＋cos 45°－tan 30°＝____________.
16.已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时(如图1)，AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时(如图2)，AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝____________米．
17.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为____________m(结果保留根号)．
18.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°.则垂直支架CD的长度为________厘米(结，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°果保留根号)．
19.已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为____________．
20.用计算器求下列三角函数(保留四位小数)：sin 38°19′＝________；cos 78°43′16″＝________；tan 57°26′＝__________.
三、解答题
2
21.在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，cosB恰为一元二次方程2x－3mx＋3
＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状． 22.已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝
，计算
0
－4cosα－(π－3.14)＋tanα＋
－1
的值．
23.如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，求建筑物AB的高度．
24.某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)
25.小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20(1)求出大厦的高度BD； (2)求出小敏家的高度AE.
米．
26.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosA，tanA的值．
27.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上的一点，CD＝6，cos ∠ADC＝，tanB＝，求BD的长．
28.计算下列各式
(1)tan 30°×sin 45°×cos 60° ＋tan 60°
2(2)sin230°. ＋2sin 60°＋tan 45°－tan 60°＋cos30°
答案解析
1.【答案】D
【解析】本题要求熟练应用计算器． “SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能． 故选D. 2.【答案】B
【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝∴sinA＝故选B. 3.【答案】B
【解析】如图，设∠A＝α，
由于cosα＝，则可设AC＝k，AB＝3k， 由勾股定理，得BC＝∴tanα＝tanA＝故选B.
4.【答案】B
【解析】∵△ABC中，∠ABC＝90°－60°＝30°，∠CAB＝30°＋90°＝120°， ∴∠C＝30°， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC＝10 km.
作AD⊥BC于点D，则BC＝2BD. cos 30°在直角△ABD中，BD＝AB·＝5则BC＝10故选B.
(km)．
(km)．
＝
＝2
. ＝
＝
k，
＝
，
＝12，
5.【答案】A
【解析】根据题意，得PA＝40
海里，∠A＝45°，∠B＝30°，
×＝40(海里)，
∵在Rt△PAC中，AC＝PC＝PA·cos 45°＝40
在Rt△PBC中，BC＝∴AB＝AC＋BC＝40＋40故选A. 6.【答案】B
＝＝40(海里)，
(海里)．
【解析】根据题意，得∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC， ∴∠ADB＝∠DBC－∠A＝30°， ∴∠ADB＝∠A＝30°， ∴BD＝AB＝60 m，
∴CD＝BD·sin 60°＝60×＝30故选B. 7.【答案】D
【解析】∵∠AFE＋∠CFD＝90°， ∴cos ∠AFE＝sin ∠CFD＝由折叠可知，CB＝CF，
矩形ABCD中，AB＝CD，sin ∠CFD＝故选D. 8.【答案】D
【解析】由tanα＝6.866，得 2nd tan 6.866， 故选D.
＝
＝.
，
≈51(m)．
9.【答案】D 【解析】cos 60°＝， 故选D. 10.【答案】D
【解析】由圆周角定理，得 ∠AED＝∠ABD.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC＝
＝
，
＝
＝
，
cos ∠AED＝cos ∠ABC＝故选D.
11.【答案】0° ＜A＜60°
【解析】由cosA＞cos 60°，得 0°＜A＜60°， . 故答案为0°＜A＜60°12.【答案】＜
【解析】∵当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大， 又∵40°＜50°， ∴sin 40°. ＜sin 50°13.【答案】4或
【解析】设AD是BC边上的高，如图． ∵BC＝4，S△ABC＝8， ∴×4AD＝8， ∴AD＝4， ∴BD＝
＝
＝3.
若高AD在△ABC内部，如图1， ∵CD＝BC－BD＝1， ∴tanC＝
＝＝4；
若高AD在△ABC外部，如图2，
∵CD＝BC＋BD＝7， ∴tanC＝
＝.
故答案为4或.
14.【答案】
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3， ∴AB＝∴sinB＝
＝
＝＝
.
＝
，
15.【答案】－
＋
－
×
【解析】原式＝＝
－.
16.【答案】 【解析】设OH＝x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°， ∴AO＝2xm，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为， ∴BO＝3xm，
则AO＋BO＝2x＋3x＝3， 解得x＝. 17.【答案】10
＋1
【解析】如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE＝CD＝10 m，CE＝AD＝1 m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE＝60°， ∴BE＝AE·tan 60°＝10∴BC＝CE＋BE＝10∴旗杆高BC为(10
(m)，
＋1. ＋1) m.
18.【答案】38
【解析】∵支架CD与水平面AE垂直， ∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，∠CED＝60°，DE＝76厘米， ∴CD＝DE·sin ∠CED＝76×sin 60°＝3819.【答案】
或
(厘米)．
【解析】(1)当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时， 设直角三角形的斜边等于2， 则一条直角边的长度等于1， 另一条直角边的长度是
＝
，
＝
.
则这个直角三角形中较小锐角的正切值为
(2)当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时， 设一条直角边的长度等于1， 则一条直角边的长度等于2，
则这个直角三角形中较小锐角的正切值为， 故答案为
或.
20.【答案】0.6193 0.6193 1.5657 【解析】直接使用计算器解答．
1、按MODE，出现：DEG，按sin ,38，“.”，19，“.”，＝，显示：0.6193； 2、按MODE，出现：DEG，按cos ,78，“.”，43，“.”，16，“.”＝，显示：0.6193；
3、按MODE，出现：DEG，按tan ,50，“.”，26，“.”，＝，显示：1.5657. 21.【答案】解 ∵∠A＝60°，∴tanA＝把x＝把m＝∴cosB＝
代入方程2x－3mx＋3＝0，得2(
2
. )2－3
m＋3＝0，解得m＝
. .
22
代入方程2x－3mx＋3＝0得2x－3mx＋3＝0，解得x1＝
，x2＝
. ，即∠B＝30°
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．
【解析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
22.【答案】解 ∵sin 60°＝∴α＋15°＝60°， ∴α＝45°， ∴原式＝2
－4×－1＋1＋3＝3.
，
【解析】根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果． 23.【答案】解 设建筑物AB的高度为x米． 在Rt△ABD中，∠ADB＝45°， ∴AB＝DB＝x.
∴BC＝DB＋CD＝x＋60. 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°， ∴tan ∠ACB＝∴tan 30°＝∴3x＝(3－x＝
＝
，
x＋60
，
， ，
(x＋60)＝)x＝60
，
＝30＋30
.
，
∴x＝30＋30
经检验，x＝30＋30是分式方程的解．
∴建筑物AB的高度为(30＋30)米．
【解析】设建筑物AB的高度为x米，在Rt△ABD中可得出AB＝DB＝x，在Rt△ABC中根据tan ∠ACB的值可求出x的值．
24.【答案】解 (1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm， ∴CD＝80×cos 30°＝80×＝40
(cm)．
(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm， ∴OC＝AC×tan 30°＝165×＝55∴OD＝OC－CD＝55
－40
＝15
(cm)， (cm)，
＝95
(cm)．
∴AB＝AO－OB＝AO－OD＝55×2－15
【解析】(1)在Rt△CDE中，根据∠CDE＝30°，DE＝80 cm，求出支架CD的长是多少即可． (2)首先在Rt△OAC中，根据∠BAC＝30°，AC＝165 cm，求出OC的长是多少，进而求出OD的长是多少；然后求出OA的长是多少，即可求出真空热水管AB的长是多少． 25.【答案】解 (1)如题图，∵AC⊥BD， ∴BD⊥DE，AE⊥DE， ∴四边形AEDC是矩形， ∴AC＝DE＝20
米，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝45°， ∴BC＝AC＝20
米，
，
在Rt△ACD中，tan 30°＝∴CD＝AC·tan 30°＝20∴BD＝BC＋CD＝20
×＝20(米)， ＋20(米)；
＋20)米；
∴大厦的高度BD为(20
(2)∵四边形AEDC是矩形， ∴AE＝CD＝20米．
∴小敏家的高度AE为20米．
【解析】(1)易得四边形AEDC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案； (2)结合(1)，由四边形AEDC是矩形，即可求得小敏家的高度AE.
26.【答案】解 ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC＝∴sinA＝cosA＝tanA＝
＝4， ＝， ＝， ＝.
【解析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答． 27.【答案】解 在Rt△ACD中，∵cos ∠ADC＝∴AD＝×6＝10， ∴AC＝
在Rt△ABC中， ∵tanB＝
＝，
＝
＝8，
＝，
∴BC＝×8＝20，
∴BD＝BC－CD＝20－6＝14.
【解析】在Rt△ACD中，利用∠ADC的余弦可计算出AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后在Rt△ABC中，利用∠B的正切计算出BC＝20，于是根据BD＝BC－CD求解． 28.【答案】解 (1)原式＝＝
＋
；
2
×＋×
(2)原式＝＝＋＝2.
＋1
＋2×＋1＋
＋
2
【解析】(1)首先代入特殊角的三角函数值，然后化简二次根式即可； (2)首先代入特殊角的三角函数值，然后化简二次根式即可．
人教版九年级下册第二十八章 《锐角三角函数》单元练习题（含答案）
一、选择题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cosA的值等于( )
A． B． C． D．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为( ) A． 4 B． 2C．D．
，则∠A的取值范围是( )
3.已知∠A为锐角，且tanA＝A． 0° ＜∠A＜30°B． 30° ＜∠A＜45°C． 45° ＜∠A＜60°D． 60° ＜∠A＜90°
4.把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是( ) A． cosA＝cosA′ B． cosA＝5cosA′ C． 5cosA＝cosA′ D． 不能确定
5.Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝6 cm，那么BC等于( )
A． 8 cm B．C．
cm cm
D．cm
6.在△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝A．B． C．D．
，则cosB的值等于( )
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为( ) A．
B． 4 C． 2D． 5
8.已知∠A为锐角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是( ) A． 0° ＜∠A＜30°B． 30° ＜∠A＜60°C． 60° ＜∠A＜90°D． 30° ＜∠A＜90°
分卷II
二、填空题 9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为10.若
tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________．
，则∠A＝________.
11.在△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝3，则cosA＝__________.
12.如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5
小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是________海里．
13.如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为__________．
14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且tanA＝3，则cosB的值为__________．
15.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是__________．
16.△ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.
三、解答题
17.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝
∶3.若新坡角外需留下2米宽
的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)
18.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝. (1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________； (2)探究tanA·cotA的值．
19.已知Rt△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a：c＝2：3，求tanA的值．
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．
21.如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图2)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF. 交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)
(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00)
第二十八章 《锐角三角函数》单元练习题
答案解析
1.【答案】D
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝∴cosA＝故选D. 2.【答案】A 【解析】如图，
＝，
＝
＝5.
∵∠C＝90°， ∴cosB＝
，
∴BC＝ABcosB＝6×＝4， 故选A. 3.【答案】C
【解析】∵tan 45°＝1，tan 60°＝又1＜
＜
，
，锐角的正切值随角增大而增大，
∴45°. ＜∠A＜60°故选C. 4.【答案】
【解析】∵Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′， ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， ∴∠A＝∠A′， ∴cosA＝cosA′.
故选A. 5.【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝6 cm， ∴tanA＝
＝
＝，
解得BC＝8， 故选A. 6.【答案】A 【解析】设BC＝2x， ∵tanA＝∴AB＝3， ∴cosB＝故选A.
7.【答案】B 【解析】∵cosB＝
，
＝
， ，∴AC＝
x，
∴BC＝AB·cosB＝6×＝4. 故选B. 8.【答案】A
【解析】∵∠A为锐角，且sin 30°＝，
又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大， ∴0°＜A＜30°， 故选A. 9.【答案】60°
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为∴S＝AC·BC＝
，
，
∴AC＝，
∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝60°.
10.【答案】20° 【解析】∵
tan (x＋10°)＝1，
＝
，
∴tan (x＋10°)＝∴x＋10°＝30°， ∴x＝20°. 11.【答案】
【解析】由tanB＝3，可以设∠B的对边是3k，邻边是k， 则根据勾股定理，得斜边是故cosA＝12.【答案】30
.
k＝
k，
【解析】作CD⊥AB于点D，垂足为D， 在Rt△BCD中，
∵BC＝20×1.5＝30(海里)，∠CBD＝45°， ∴CD＝BC·sin 45°＝30×＝15则在Rt△ACD中， AC＝
＝15
×2＝30
(海里)．
(海里)，
13.【答案】100m (100－100)m
【解析】设CD＝xm，则 ∵CE＝BD＝100，∠ACE＝45°， ∴AE＝CE·tan 45°＝100. ∴AB＝100＋x. 在Rt△ADB中，
∵∠ADB＝60°，∠ABD＝90°， ∴tan 60°＝∴AB＝∴x＝100即楼高10014.【答案】
，
，
BD，即x＋100＝100－100，
－100 m，塔高100
m.
【解析】解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3， 设a＝3x，b＝x，则c＝∴cosB＝＝
＝
. x，
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解． 又∵tanA＝∴sinA＝3cosA.
22
又sinA＋cosA＝1，
＝3，
∴cosA＝.
∵A、B互为余角，
∴cosB＝sin (90°－B)＝sinA＝15.【答案】
【解析】作BD⊥AC于点D， ∵BC＝2，AC＝∴
＝
，
＝3
，点A到BC的距离为3，AB＝
＝
，
.
即解得BD＝∴AD＝∴tanA＝
＝，
，
＝＝
＝.
＝2，
16.【答案】3
【解析】∵∠C＝90°，AB＝10， ∴cosA＝∴AC＝3.
17.【答案】解 不需要移栽，理由： ∵CB⊥AB，∠CAB＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝5米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∴DC＝2BC＝10米，BD＝∴AD＝BD－AB＝(5
BC＝5
米，
∶3，即∠CDB＝30°，
＝
＝0.3，
－5)米≈3.66米，
∵2＋3.66＝5.66＜6， ∴不需要移栽．
【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽． 18.【答案】解 (1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝(2)∵tanA＝，cotA＝， ∴tanA·cotA＝·＝1.
【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；
；
(2)根据tanA＝，cotA＝，求出tanA·cotA的值即可． 19.【答案】解 设a＝2k，c＝3k. 由勾股定理得b＝则tanA＝＝
＝
. ＝
＝
k.
【解析】设a＝2k，c＝3k，依据勾股定理可求得b的长度，然后依据锐角三角函数的定义解答即可．
20.【答案】解 在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°， ∵tanB＝，
∴b＝a×tanB＝5×tan 60°＝5由勾股定理，得c＝
，
＝10.
【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素． 21.【答案】解 (1)如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，
∵DE∥MN，
∴∠DCP＝∠ADE＝76°，
则在Rt△CDP中，DP＝CDsin ∠DCP＝40×sin 76°≈39(cm)， 答：椅子的高度约为39厘米； (2)作EQ⊥MN于点Q， ∴∠DPQ＝∠EQP＝90°， ∴DP∥EQ，
又∵DF∥MN，∠AED＝58°，∠ADE＝76°，
∴四边形DEQP是矩形，∠DCP＝∠ADE＝76°，∠EBQ＝∠AED＝58°， ∴DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，
又∵CP＝CDcos ∠DCP＝40×cos 76°≈9.6(cm)， BQ＝
＝
≈24.4(cm)，
∴BC＝BQ＋PQ＋CP＝24.4＋20＋9.6≈54(cm)， 答：椅子两脚B、C之间的距离约为54 cm.
【解析】(1)作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，由DE∥MN知，∠DCP＝∠ADE＝76°，根据DP＝CDsin ∠DCP可得答案；
(2)作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．
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