２０１１年第５期鼋争试周刊 试论培养学生数学思维能力的策略 郭道金 （仪征市大仪中学，江苏仪征数学教学主要是数学思维活动的教学。学生的逻辑思维 能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。数学教学的 思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程 中实现的。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地，所以， 要把思维训练贯穿于数学教学的全过程。 激发学生的思维动机 动机是人们“因需要而产生的一种心理反映”，它是人们 行为活动的内动力。因此，激发学生的思维动机，是培养其思 维能力的关键。 教师如何才能激发学生思维动机呢？提出问题、创设情境 问题“是数学的心脏”，是思维的起点。有问题才会有思考．思 维是从问题开始的。巧妙恰当地提出问题，创设良好的思维情 境，能够迅速集中学生的注意力，激发学生的兴趣和求知欲。 这是 好数学思维训练课的首要环节。这就要求教师必须充 分发挥主导作用．根据学生的心理特点，有意识地挖掘教材中 的知识因素，从学生自身的生活需要出发，使其明确知识的价 值，从而产生思维的动机。问题的提出，首先要从教材人手，寻 找思维素材。其次是通过对教材内容的再加工，设计一些具有 疑问性、思维性、说理性、扩散性等特点的问题，使学生产生认 知冲突，进人思维“角色”，成为思维的主体。这样设计教学既 能渗透“知识来源于生活”的数学思想，又能使学生意识到学 一２１１４０９） 、习知识的目的是为了解决生活和生产中的实际问题。学生的 学习动机被激发起来．自然会全身心地投入到后面的教学活 动之中。 二、理清学生的思维脉络 认知心理学家指出：“学生思维能力的发展是寓于知识发 展之中的。”在教学中，对于每一个问题，既要考虑它原有的知 识基础．义要考虑它下联的知识内容，只有这样，才能更好地 激发学生思维，并逐步形成知识脉络。教学的关键在于使学生 的思维脉络清晰化．而理清思维脉络的重点就是抓住思维的 起始点和转折点。 １．引导学生抓住思维的起始点。数学知识的脉络是前后 衔接、环环紧扣的，并且总是按照发生一发展一延伸的自然规 律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是 如此．或从已有的经验开始．或从旧知识引入，这就是思维的 开端。教师应从学生思维的起始点人手，把握住思维发展的各 个层次．逐步深入．直至终结。如果这个开端不符合学生的知 识水平或思维特点，学生就会感到问题的解决无从下手，其思 维脉络就不会在有序的轨道上发展。教师切忌用自己的思维 取代学生的思维，要正确处理知识与思维的关系，即“已有知 识一思维一新知识”。知识是思维的基础，而思维叉属于知识 的知识。知识有助于思维，但不能取代思维。在这一环节的教 文本、图像、运动等方式，化静为动，让教学过程更加生动、形 象、直观．大大提高课堂教学效率，所以恰当地运用多媒体教 学．无疑能给视觉带来动感．课堂氛同就会被激活，那么学生 就会在轻松愉快的课堂中接受新知识。 在教学初一年级的“图形的平移和旋转”一节时，由于这 节图形的变换、运动性较强，我就巧妙地利用了几何画板的直 观性、变换性、运动的可观性等特点，再加上几何画板不仅能 直观地看到图形或点的运动过程，而且还能保留点的运动轨 迹，这样．学生从视觉上就能明白图形是怎样进行平移和旋转 的，同时也避免了枯燥无味的空对空的解说。 四、由“课堂”延伸到“课外” 很多老师认为所有的数学教与学在课堂内完成就叫课堂 效率高。而事实上数学的教与学通常具有延伸性、拓展性，有 些知识点仅靠在课堂上老师的点拨、同学间的合作学习就想 透彻地掌握往往是不太可能的，尤其是遇到需要理论联系实 际比较紧密的章节时，就有必要把“课堂”延伸到“课外”。这不 仅进一步体现了新课程改革的合作性理念，而且体现了数学 的调查性、体验性、操作性和实践性的特点，从而培养了学生 的“数学与解决实际问题的”意识。 如在教学完“三角形相似”内容时，我就布置了这样一道 Ａ Ｂ 学生１：它是轴对称图形。 学生２：ＢＤ＝ＣＤ， １＝ ２， Ｂ＝ Ｃ。 老师问：为什么７ ． 学生２：根据第一个同学得出的轴对称图形和我自己对折 后ＡＤ两旁部分能够重合都可得出这样的结论 学生３：ＡＡＢＤ与ＡＡＤＣ形状相同，从而面积、周长也相同。 学生４：我觉得 ３与 ４应该等于９０。。 老师问：为什么？ 学生４：先是凭直觉，后来我想，既然ＡＡＢＤ与ＡＡＤＣＩｔ够重 合．而且 ＢＤＣ是一个平角，所以 ３与 ４均等于９０。。 学生５：那根据学生４的结论，我还可以得出ＡＢ＞ＡＤ，ＡＢ＞ ＢＤ。因为 ３＝９０。。当然斜边大于两直角边。 老师：同学们发现的这些无疑都是正确的，只是有的结论 还可以进一步提炼： ①ＢＤ＝ＣＤ，就可得出ＡＤ是底边上的什么线？学生：中线。 ② １＝ ２，可得 ＡＤ是顶角的什么线？学生：角平分线。 ③ ３＝／＿４，可得出ＡＤ是底边上的什么线？学生：高线。 我们只从这 点看，等腰 角形有何特殊性？ 学生：ＡＤ既可以是底边上的中线，又可以是顶角的平分 线，还可以是底边』－的高线，即：等腰ｉ角形的ｉ线合～ 这样，一节课在表面上很散．但在后面较怏地回到了正 题，新知讲授就在学生的活动、观察巾轻松、愉快地结束了 三、教学手段的先进化 虽说计算机是否应用不是衡量一堂课的优劣、效率的高 低的唯一标准，但它毕竟给教学带来了无限生机，它可以通过 实践题：“请几个同学自行组成一组（当然最好是成绩好、中、 差搭配），利用三角形相似知识，去粗略测量校内一幢大楼的 高度。时间自定。” 这个在教室里无法解决的问题，学生用课余活动的时间 解决了。这不仅是数学的实践性、延伸性的体现，而且缩短了 课堂教学时间。 总之．新时代的教师应该是教学的组织者、引导者、鼓励 者．教师的主要任务是设设情境，引出问题．营造良好的活动 氛围。促使学生积极探究，并在学生探究时候起到穿针引线的 作用，使问题的研究不断深入、层层推进，从而引导学生在探 究数学的同时，培养科学的探究精神和探究能力。 考试周刊２０１１－ｇ＝－．￣５＠ 函数极限求解方法归纳 张 锐 （浙江财经学院东方学院，浙江杭州 ３１００１８） 摘要：极限是微积分学中的一个基本概念，是微积分 学中各种概念和计算方法能够建立和应用的前提。函数极限 的计算比较灵活，本文对函数求极限的几种方法进行了归纳。 关键词：函数极限求解方法归纳 极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿 于微积分学的始终。可以说微积分学的几乎所有概念都离不开 极限 在几乎所有的微积分教材中，都是先介绍函数理论和极限 的思想方法。然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定 积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性和 重积分的概念。因此极限是微积分学中一个很重要的基本概念 之一．是微积分学各种概念和计算方法能够建立和应用的基础。 应该说，极限的求解方法比较灵活，学生在实际计算时经 常会碰到一些问题。因此，本文对函数极限的几种常用的求解 方法加以归纳。 １．利用极限的描述性定义 利用描述性说明可以容易地估计出一些简单的函数极 限．例如：ｌｉｍ一１＝１，ｌｉｍｃｏｓ ＝１，等等。六类基本初等函数的极 ｘ一 Ｘ Ｘ １ １ 限也都可以根据描述性定义，结合图像方便地得到。 六类基本初等函数的极限需要学生熟记于心，这是后面 求一些复杂函数极限的基础。但其中，有一些极限会比较容易 混淆，在应用的时候要引起注意。比如： ｌ １ ｌｉｍｌｎｘ：一∞：ｌｉａ ｒｌｎｘ＝＋∞；ｌｉｍｅ ＝＋∞；ｌｉｍｅ ＝０ ＋０． ’ｘ一＋∞ ｒ∞ ｘ— ｌｉａａｒｏｔａｎｘ＝一—ＩｒＩ¨：ｌｉｒａａｒｃｔａｎｘ＝—ｌＩ；ｌｉｍａｒｃｔａｎｘＡ￣存在 ｘ—＋一＊ ２ ｘ— ＋ ２ ｘ—＋＊ ２．利用极限的四则运算法则 利用极限的四则运算法则可以求一些较为简单的复合函 数的极限，但在应用的时候必须满足定理的条件：参加求极限 的函数应为有限个，且每个函数的极限都必须存在；考虑商的 极限的描述性定义为：若当自变量的绝对值ｌｘｌ无限增大 时．相应的函数值ｆ（ｘ）无限接近某确定的常数Ａ，则称当ｘ趋向 无穷时函数ｆ（ｘ）以Ａ为极限，或ｆ（ｘ）收敛到Ａ，记为 ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ）— Ａ（ｘ— 。。） 学中，要注重学生思维潜力的挖掘，发挥其既是知识的产物， 极限时．还需要求分母的极限不为０。 例１：ｌｉｍ（、／．ｎ二ｉＩ＋Ｖ ）． ｎ叶∞ 错解：原式＝ｌｉｍＸ／ｎ－Ｉ＋ｌｉａ、／ ＝ｏ。 ｒｒｒ ∞ｒ广’∞ 又是知识媒介的双重作用。 ２．引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现 “卡壳”的现象．这就是思维的障碍点。此时教师应适时地加以 疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维 发展。思维扩展这一环节是知识的形成阶段，属抽象思维的高 级阶段 数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成 的 学生接受新知识要借助于旧知识，而旧知识的思维形式往 往会成为新知识思维形式的障碍（如思维定势），因此，教师首 先要抓好教学过程中数学思想方法的渗透，在数学知识的质 变（往往是重点）过程中，帮助学生实现思维活动的转折，排除 思维活动的障碍（往往是难点），通过思维操作的“关卡”，以实 现思维发展。学生理性认识过程是由表象的具体到思维的抽 象．再由思维的抽象上升到思维的具体的过程。研究数学问题 的过程首先是由具体到抽象的过程。在此环节中，将数学问题 转化加工为例题形式．使被抽象出来的数学问题再回到实践 中去验证。这一阶段是学生的思维定向阶段，是运用思维探索 规律学会抽象的过程。但探索研究的关键是学生的参与，思维 操作的关键是激励学生进入积极的思维状态。因此，教师要依 据学生的思维特征、认知规律，从知识的发生、发展、形成过程 巾随机设计学生参与的最大开发口，暴露思维过程，让学生多 动脑、动手、动口，给学生主动研究、探索、分析、归纳、推理和 判断等数学活动的时空。 三、培养学生的思维方法 在培养学生思维方法的过程中，注意结合学生的心理特 点和认识水平从不同角度、不同层次、不同侧面有目的、有针对 性地设计组编一些探索型、开放型、判断改错型、归纳与综合型 等题目，为学生提供多种类型的思维训练素材，这是发展学生 的思维能力不可缺少的。这要求教师注重挖掘课本典型题例 的潜在功能，充分发挥它的导向、典型、发展和教育作用，反复 渗透与运用数学思维方法，把数学知识融入活的思维训练中 去，并在不断的“问题获解”过程中深化、发展学生的思维。 １．把知识的教学与思想方法的培养同时纳入教学目的的 原则。各章应有明确的数学思想方法的教学目标，教案中要精 心设计思想方法的教学过程。 ２．寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中、于教 学问题的解决之中的原则。知识是思想方法的载体，数学问题 是在数学思想的指导下，运用知识、方法“加工”的对象。离开 具体的数学活动的思想方法的教学是不可能的。 ３．适当的强化训练与思想方法反复运用相结合的原则。 数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的 指导作用、被认知的思想方法在反复地运用中才能被真正掌 握这一教学规律．决定了成功的思想方法和教学只能是有意 识地贯穿全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教 学更是如此。如数形结合的思想，在数学几乎全部的知识中， 处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面 给人以启迪，为问题的解决提供简洁明快的途径。它的运用， 往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境 地。在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方 法的训练。例如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组 题．在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数 学归纳法解题这一思想方法，学生在能熟练运用的基础上，通 过反复运用．才能形成自觉运用的意识。 ４．用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解 的练习，培养思维的发散性，灵活性、敏捷性；对习题灵活变 通．引申推广，培养思维的深刻性、抽象性；组织引导对解法的 简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、 批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是 题多解的思维本源。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理 解．以及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的 一必然。数学方法、数学思维的自觉运用往往使我们运算简捷、 推理机敏．是提高数学能力的必由之路。