幂函数复习
考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数123
21,,,,y x y x y x y y x x====
=的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：
1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是⾃变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，31x y =32x y =1y x -=2-=x
y 3-=x y 这⼏个常⽤幂函数的图象.
2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数.（2）当0α<时，图象过定点 ；在(0
,)+∞上是 函数；在第⼀象限内，图象向上及向右都与坐标轴⽆限趋近.
3. 幂函数y x α=的图象，在第⼀象限内，直线1x =的右侧，图象由下⾄上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上⾄下，指数α. 诊断练习：
1如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2－2x ）2
1－的定义域是3．函数y ＝5
2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝221m mx
－－在第⼆象限内单调递增，则m 的最⼤负整数是__ _范例分析：
例1⽐较下列各组数的⼤⼩：（1）1.531，1.73
1，1； （2）（－
2）32-，（－107）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）5
3； （4）31.4，51.5. 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．例3幂函数273235
()(1)t t f x t t x
+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.
反馈练习： 1．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2
，则(8)f 的值为 .
2．⽐较下列各组数的⼤⼩： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.40.40.5.
3．幂函数的图象过点(2,14
), 则它的单调递增区间是 ．
4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝ax 的图象在y ＝x 的上⽅，则a 的取值范围是 ．5．函数y ＝3
4x -在区间上 是减函数．
6．⼀个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另⼀个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集. 巩固练习
1．⽤“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8-0.40.6-．2．函数1322
(1)(4)
y x x --=-+-的定义域是3．942
--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知3532x x >
，x 的取值范围为
5．若幂函数a y x =的图象在0
6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过
,则()f x 的表达式为 7. 函数2()3x f x x +=
+的对称中⼼是 ，在区间 是 函数（填“增、减”） 8．⽐较下列各组中两个值的⼤⼩33221.31.30.30.35533
(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与09．若3131)23()2(---<+a a ，求a 的取值范围。10．已知函数y ＝42215x x －－．
（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．诊断练习：1。12
2。（－≦，0） （2，＋≦）3。（－≦，0）4。-1例1解：（1）≧所给的三个数之中1.531和1.73
1的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，⽐较幂1.531、1.73
1、1的⼤⼩就是⽐较1.531、1.731、13
1的⼤⼩，也就是⽐较函数y =x 3
1中，当⾃变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的⼤⼩关系，因为⾃变量的值的⼤⼩关系容易确定，只需确定函数y =x 31的单调性即可，⼜函数y =x 3
1在（0，+≦）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.731＞1.531＞1．（2）（－2）32-=（
2）32-，（－107）32=（710）32-，1.134-=［（1.1）2］32
-=1.2132-．
≧幂函数y =x 32-
在（0，+≦）上单调递减，且710＜2＜1.21，（
710）32-＞232-＞1.2132-，即（－107）32＞232-＞1.134-．
（3）利⽤幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832-
＜1，3.952＞1，（－1.8）5
3＜0，从⽽可以⽐较出它们的⼤⼩．
（4）它们的底和指数也都不同，⽽且都⼤于1，我们插⼊⼀个中间数31.5，利⽤幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．
例2解：≧ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，?{6020
m m -<-<，解得26m <<.
⼜ ≧ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ? 2m -为偶数，即得4m =.例3解：≧ ()f x 是幂函数， ? 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75
()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25
()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25()f x x =或85()f x x =.
反馈 1。.>,≤, <, 3。(－≦, 0);4. (－≦, 1);5. （0，
＋≦）;
6．（1）设f (x )＝x a, 将x ＝3, y a ＝43, 34()f x x =；
设g (x )＝x b
, 将x ＝－8, y ＝－2代⼊，得b ＝31,13()g x x =；
（2）f (x )既不是奇函数，也不是偶函数；g (x )是奇函数；（3） (0,1)巩固练习： 1．0.60.50.5
0.320.320.34<<，22550.80.6--<
2．[1,4) 提⽰：?>-≥-040
1x x ?41≤≤x 。 3．5 提⽰：≧942
--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，为负整数）
k k a a (2942=--，当2-=k 时，解得5=a 。 4．),1()0,(+∞?-∞ 提⽰：函数y=32x 与y=5
3x 的定义域都是R ，y=32x 的图
象分布在第⼀、第⼆象限，y=53x 的图象分布在第⼀、第三象限，所以当x )0,(-∞∈时，32x ＞5
3x ，当x=0时，显然不适合不等式；当x ),0(+∞∈时，32x ＞0，5
3x ＞0，由11515332>=
x x x 知x ＞1。即x ＞1时，32x ＞5
3x 。综上讨
论，x 的取值范围是),1()0,(+∞?-∞。5．a>1 函数a y x =的图象在0a .6．3()f x x -= 因为函数g(x)的图象经过，所以函数f(x)的
图象就经过点)33,33(
7. （-3，1） (-≦，-3)；（-3，+≦） 增 提⽰：2()3x f x x +=+=31
1313+-=+-+x x x . 8．解析:33355533
55(1) 1.5 1.6 1.5 1.6301.5 1.6 1.5 1.65><∴< 与可看作幂函数y ＝X 在与处的函数值，且，由幂函数单调性知： 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3
(2)0.6.7.6.700.7 0.6.7><∴ 与0可看作幂函数y ＝X 在0与0处的函数值，且1.3，0.6由幂函数单调性知：<02
2222(3) 3.5.3.5.320 3.5.33-----<∴ 33333
与5可看作幂函数y ＝X 在3与5处的函数值，且-，3.5<5.3由幂函数单调性知：>50.30.30.30.30.3
(4)0.180 0.18-----<∴ 与0.15可看作幂函数y ＝X 在0.18与0.15处的函数值，且-0.3，0.18>0.15由幂函数单调性知：<0.159．解析：≧3131)23()2(---<+a a ，据y=31-x 的性质及定义域{}0,≠∈x R x x ，有三种情况：
->+>->+a a a a 23202302 或>-<+02302a a 或 ??->+<-<+aa a a 23202302， 解得 )23,31()2,(?--∞∈a 。
10．这是复合函数问题，利⽤换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］，t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．?函数的值域为［0，2］． （2）≧函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，?函数既不是奇函数也不是偶函数．
（3）≧函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，
x ∈［－5，1］时，t 随x 的增⼤⽽增⼤；x ∈（1，3）时，t 随x 的增⼤⽽减⼩． ⼜≧函数yt ∈［0，16］时，y 随t 的增⼤⽽增⼤，
函数y
的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，
3）．
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