2013年安庆市数学青年教师(高中)解题大赛答案

2013年安庆市数学青年教师（高中）解题大赛试题

2013年11月22日（1；30—4：00）

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.已知集合Mf(x)|f2(x)f2(y)f(xy)f(xy),x,yR有下列命题：

1,x0①若f1(x)=；则f1(x)∈M；

1,x0②若 f2(x)=2x,，则f2(x)∈M； ③若f3(x)=sinx, 则f3(x)∈M； ④若f4(x)=cosx, 则f4(x))∈M；

⑤若f(x)∈M，则y= f(x)的图像关于原点对称； ⑥若f(x)∈M，则对于任意不等的实数x1、x2，总有⑦若f(x)∈M，则对于任意的实数x1、x2，总有f(f(x1)f(x2)0；

x1x2

x1x2f(x1)f(x2) )22其中正确命题有( C)个．

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2．巳知数列an是正整数组成的递增数列，且满足an2an12an（n∈N）, 若a5=52，则a7=（ C ）

(A)102 (B) 152 (C)212 (D)缺少条件，a7不能唯一确定 3．方程

x2sin192013y2cos1920131所表示的曲线是( C )．

(A)双曲线

(B)焦点在x轴上的椭圆 (C)焦点在y轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确

4．方程8x2x218x48x211有( D )个实根．

(A)1 (B)3 (C)5 (D)7

5．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，奇和数有( A )个．

(A)100 (B)120 (C)160 (D)200

6．若椭圆的焦距与长轴长的算术平均数等于长轴长与短轴长的几何平均数，则椭圆离心率的值应在区间( C )中．

1122330,,, (B)  (C)  (D) ,1 (A) 223344

二、填空题(每小题6分，共36分)

1,n为奇数n17.若an=，则an可用一个统一式子表示，即an1, 已知，

1,n为偶数sin81122,cos22.则此二式用一个统一式子表示是2821(1)n1sin[]2(1)n2

482

8．已知A={1，2，3，4，5，6}，f:AA, 满足f(f(x))x的映射f的个数

为 7306

9．已知满足关于x的不等式x24xpx35的x的最大值为3．则此不等式的解集为 [2,3]

10.房屋的天花板上点P处有一光源，P在地面上的射影为Q，在地面上放置

正四棱锥S-ABCD(底面ABCD接触地面)．已知正四棱锥S-ABCD的高为1 m，底面

1ABCD的边长为m ，Q在直线AC上，且与正方形ABCD的中心0的距离为3m，又

2321PQ=3m,则棱锥影子的面积为 8

11．在三角形ABC中，sinBsinCsinAcosBsinAcosC，则

cosAcosBcosC的取值范围是 [1, 2 ] 12．巳知函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数．若x∈[0，n](n∈N+)

n2n4时，f(x)的值域为A，记an=card(A)，则an

2三、解答题（每题14分，共84分）

13.若f(x)=∣2x2+bx+c∣（x∈0,2）的最大值为M，求M的最小值． 答案：1

x2y214.已知椭圆C:221 (a>b>0), Fl、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上

ab任一点，△FlPF2 的重心为G，内心为I,且有IGF1F2．

(1)求椭圆C的离心率e；

(2)过焦点F2的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F1MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程．

答案：1；

1 2

x2y2 2：1

4315.在三棱锥P—ABC中，AB=2，PA+PC=4，AC=x，V (1)试用x表示V； (2)若VpABCpABC的最大值为V.

=4，求三棱锥P—ABC的侧面积．

3x2x44 答案：1，V3 2，S422 16.如图，⊙O是△ABC的内切圆，E、F为AB、AC上的切点，射线BO、CO交EF于N、M,求证：四边形AMON与△OBC的面积相等。

D

答案：易证明三角形OBC与三角形OMN相似 可得：OD*BC=OA*MN

17. 已知方程x2+px+q=0和y2-py+r=0都有实根（p、q、r∈R,p≠0）,且可以安排适当的顺序分别将两个方程的根记为x1、x2和y1、y2．则x1y1- x2y2=1成立的充要条件是p4(p-r)2+2p2(q+r)+1= p4．试证之．

答案：利用根与系数关系平方可得。

18、设 a＞2,x1=a,xn1=

x3n3xn6xn42(nN).

(1)求证：﹛xn﹜单调递减，且对ｎN ，恒有xn＞2； (２)若a＞3，证明：当ｎ≥㏒43a时，xn1＜3． 3答案：比较放缩可得。