电路原理(邱关源)习题答案第二章电阻电路的等效变换练习分析解析

“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。

所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。

由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是外接电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的结果。

深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握“等效变换”的方法在电路分析中是重要的。

2-1 电路如图所示，已知us100V,R12k,R28k。若：（1）

R38k；（2）R3(R3处开路）；（3）R30(R3处短路）。试求以

上3种情况下电压u2和电流i2,i3。

R84k 解：（1）R2和R3为并联，其等效电阻2，

则总电流

i1us10050mAR1R243

i1508.333mA26

分流有

i2i3u2R2i285066.667V6

（2）当R3，有i30

i2us10010mAR1R228

u2R2i281080V

（3）R30，有i20,u20

i3us10050mAR12

2-2 电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求：（1）电压u2和电流i2；（2）若电阻R1增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？

解：（1）对于R2和R3来说，其余部分的电路可以用电流源is等效代换，如题解图（a）所示。因此有

i2R3i3R2R3

u2R2R3isR2R3

（2）由于R1和电流源串接支路对其余电路来说可以等效为一个电流源，如题解图（b）所示。因此当R1增大，对R2,R3,R4及us的电流和端电压都没有影响。

R1上的电压增大， 但R1增大，将影响电流源两端的电压，

因为

uis显然uis随R1的增大而增大。

R1isu2us

注：任意电路元件与理想电流源is串联，均可将其等效为理想电压源is，如本题中题解图（a）和（b）。但应该注意等效是对外部电路的等效。图（a）和图（b）中电流源两端的电压就不等于原电路中电流源两端的电压uis。同时，任意电路元件与理想电压源us并联，均可将其等效为理想电压源us，如本题中对而言，其余部分可以等效为us，如题图（c）所示。但等效是对外部电路（如R4）的等效，而图（c）中us上的电流则不等于原电路中us中的电流。

uo2-3 电路如图所示。（1）求usuousR2可近似为R1R2；（2）当

RLR1//R2(R1R2)R1R2时，

，此时引起的相对误差为

uoR2usR1R210000uous

当RL为(R1//R2)的100倍、10倍时，分别计算此相对误差。

解：（1）

RR2RLR2RL

iusuRuoRisR1R R1R

uoR2RLR所以 usR1RR1R2R1RLR2RLRLKR1R2R1R2

式子中，可得

KR2(1K)R1R2 （2）设

uo，带入上述usR1R2R1R2R1R2R1R2uousR2K 相对误差为

R1R2(R1R2)K

uoR2R2R2K)10000uR1R21KR1R2R1R2s10000uoR2K1KR1R2us(K11 1K1000010000KK1K

当K100时 100 K10时 1000

2-4 求图示电路的等效电阻Rab，其中

R1R21,R3R42,R54，

G1G21S,R2。

解：(a)图中R4被短路，原电路等效为图(a1)所示。应用电阻的串并联，有

RabR1//R2//R3R51//1//244.4

(b)图中G1和G2所在支路的电阻

所以 RabR//R4R32//223

(c)图可以改画为图(c1)所示，这是一个电桥电路，由于

R1R2,R3R4处于电桥平衡，故开关闭合与打开时的等效电阻

R112 G1G2

相等。

Rab(R1R3)//(R2R4)(12)//(12)1.5

(d)图中节点1,1同电位（电桥平衡），所以11间跨接电阻R2可以拿去（也可以用短路线替代），故

Rab(R1R2)//(R1R2)//R1(11)//(11)//10.5

(e)图是一个对称的电路。

解法一：由于结点1与1，2与2等电位，结点3,3,3等电位，可以分别把等电位点短接，电路如图(e1)所示，则

Rab2(RR)3R3242

解法二：将电路从中心点断开（因断开点间的连线没有电流）如图(e2)所示。 则

Rab2R(2R//2R)3R322

解法三：此题也可根据网络结构的特点，令各支路电流如图(e3)所示，则左上角的网孔回路方程为 2Ri22Ri1 故 i2i1 由结点①的KCL方程 0.5ii2i12i22i1

i2i11i4 得

uabR0.5i2R1iR0.5i3Ri42 由此得端口电压

所以

Rabuab3R3i2

(f)图中(1,1,2)和(2,2,1)构成两个Y形连接，分别将两个Y形转化成等值的△形连接，如图(f1)和(f2)所示。 等值△形的电阻分别为

R1(1111)2.5 R2(1212)521R3R25 R122228112124 R24R2 R32

并接两个形，最后得图(f3)所示的等效电路，所以

)R1//R1//(R3//R3)Rab2//(R2//R2 2//(5//4)2.5//8//(5//4)204020 //1.26919219

(g)图是一个对称电路。

解法一：由对称性可知，节点1,1,1等电位，节点2,2,2等电位，连接等电位点，得图(g1)所示电路。则

Rab(RRR)5R1.6673636

解法二：根据电路的结构特点，得各支路电流的分布如图(g2)所示。由此得端口电压

uab1iR1iR1iR5iR3636

所以

Rabuab5R1.667i6

注：本题入端电阻的计算过程说明，判别电路中电阻的串并联关系是分析混联电路的关键。一般应掌握以下几点 （1）根据电压、电流关系判断。若流经两电阻的电流是同一电流，则为串联；若两电阻上承受的是同一电压，就是并联。注意不要被电路中的一些短接线所迷惑，对短接线可以做压缩或伸长处理。

（2）根据电路的结构特点，如对称性、电桥平衡等，找出等电位点，连接或断开等电位点之间的支路，把电路变换成简单的并联形式。

（3）应用Y，结构互换把电路转化成简单的串并联形式，再加以计算分析。但要明确，Y，形结构互换是多端子结构等效，除正确使用变换公式计算各阻值之外，务必正确连接各对应端子，更应注意不要把本是串并联的问题看做Y,

结构进行变换等效，那样会使问题的计算更加复杂化。

（4）当电路结构比较复杂时，可以根据电路的结构特点，设定电路中的支路电流，通过一些网孔回路方程和结点方程确定支路电流分布系数，然后求出断口电压和电流的比值，得出等效电阻。

2-5 在图(a)电路中，us124V,us26V,R112,R26,R32。图(b)为经电源变换后的等效电路。

（1）求等效电路的is和R；

（2）根据等效电路求R3中电流和消耗功率； （3）分别在图(a),(b)中求出R1,R2及R消耗的功率； （4）试问us1,us2发出的功率是否等于is发出的功率？R1,R2消耗的功率是否等于R消耗的功率？为什么？

解：（1）利用电源的等效变换，图(a)中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。等效后的电路如题解2-5图所示，其中

is1us1242AR112

is2us261AR26

对题解2-5图电路进一步简化得图(b)所示电路，故 isis1is2213A

RR1//R21264126

（2）由图(b)可解得三条并联支路的端电压

u(R//R3)is4234V42

所以R3的电流和消耗的功率分别为

i3u42AR32 P3R3i322228W

（3）根据KVL，图(a)电路中R1,R2两端的电压分别为

u1us1u24420V u2us2u642V 则R1,R2消耗的功率分别为

u12(20)2100P133.33WR11232u2(2)22P2WR632

22u4P4WR4R(b)图中消耗的功率

（4）(a)图中us1和us2发出的功率分别为 (b)图中is发出功率 PisPuus1s1u1242040WR112

Pus2us2u2622WR26

uis4312WPuPus1

显然 Piss2

由（3）的解可知 PP1P2

以上结果表明，等效电源发出的功率一般并不等于原电路中所有电源发出的功率之和；等效电阻消耗的功率一般也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和。这充分说明，电路的“等效”概念仅仅指对外电路等效，对内部电路（变换的电路）则不等效。

2-6 对图示电桥电路，应用Y等效变换求：（1）对角线电压U；（2）电压Uab。

解法一：把(10,10,5)构成的形等效变换为Y形，如题解图(a)所示，其中各电阻值为：

R11010410105

R2R3105210105 105210105

由于两条并接支路的电阻相等，因此得电流

I1I252.5A2

应用KVL得电压 U62.542.55V 又因入端电阻 Rab(44)//(62)22430

所以 Uab5Rab530150V 解法二：把(4,10,10)构成的Y形等效变换为形，如题解图(b)所示，其中各电阻值为

R134101010410180181010 R124101010410180181010 R23180454

把图(b)等效为图(c)，应用电阻并联分流公式得电流

I218510A9183

由此得图(b)中6电阻中的电流

18103102.5AI21864

所以原图中4电阻中的电流为52.52.5A，故电压 U62.542.55V 由图(c)得 Rab(18//9)2430 Uab5Rab530150V

注：本题也可把(4,10,6)构成的形变换为 Y形，或把(6,10,5)构成的Y形变换为形。这说明一道题中Y变换方式可以有多种，但显然，变换方式选择得当，将使等效电阻值和待求量的计算简便，如本题解法一显然比解法二简便。

2-7 图示为由桥T电路构成的衰减器。

（1）试证明当R2R1RL时，Rab22R1RLR2223RR1L （2）试证明当

RL，且有uouin0.5；

uo时，RabRL，并求此时电压比uin。

解：（1）当R2R1RL时电路为一平衡电桥，可等效为题解图(a)所示电路，所以

Rab(R1R2)//(R2RL)RL

uo1uin2

uo0.5u即 in

（2）把由R1构成的Y形电路等效变换为形电路，原电路等效为题解图(b)。其中

22R1RL3R122R2R3R12RL6R1RLR2//RR222R2R2R1RL9R12RL3R1223R1RLR3R1，因为

RL//RRL3R1RL3R1RL

26R1RL3R1RL3R1RLRLR2223R1RL3R1RL9RR1L

所以

Rab3R1RL3R13R1RL9R12RLRL)//R(R2RL3R1RL9R123R13R1RL

uouinuin3R1RL3RRLRLuin1RLR23R1RL3R1RL3R1RL3R1RL

uo3R1RLu in3R1RL

2-8 在图(a)中，us145V,us220V,us420V,us550V；

R1R315，R220,R450,R58；在图(b)中，us120V,us530V,is28A，

is417A,R15,R310,R510。利用电源的等效变换求图(a)

和图(b)中电压uab。

解(a)：利用电源的等效变换，将(a)图等效为题解图(a1)，(a2)。 其中

is1is4us145u3Ais2s2201AR115R220 us420u0.4Ais5s5506.25AR58R450

把所有的电流源合并，得

isis1is2is4is5310.46.259.85A 把所有电阻并联，有

RR1//R2//R3//R4//R515//20//15//50//8600197

uabisR9.8560030V197所以

解(b)：图(b)可以等效变换为题解图(b1)，(b2) 其中

is1us120u4Ais5s5303AR15R510

等效电流源为

isis1is2is4is5481732A 等效电阻为

RR1//R3//R55//10//102.5 所以 uabisR22.55V

注：应用电源等效互换分析电路问题时要注意，等效变换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻的并联模型互换，其互换关系为：在量值上满足usRis或

isusR，在方向上有is的参考方向由us的负极指向正极。这种

等效是对模型输出端子上的电流和电压等效。需要明确理想电压源与理想电流源之间不能互换。

2-9 利用电源的等效变换，求图示电路的电流i。

解：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a)，(b)和(c)，所以电流

i12.50.25A10i1i10.125A 2

uo2-10 利用电源的等效变换，求图示电路中电压比us。

已知R1R22,R3R41。

解法一：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a)所示的单回路电路，对回路列写KVL方程，有

(R12R3R4)i2R4u31us2

把u3R3i带入上式，则

1u1uss22i1usR12R3R42R4R3111210

uoR4i2R4u3(R42R4R3)i3us10 所以输出电压

uo30.3即 us10

解法二：因为受控电流源的电流为2u32i3R32i31，即受控电流源的控制量可以改为i3。原电路可以等效为图(b)所示的单结点电路，则

uoR4i4R4(i32i3)3i3 即

i3uo3

ui31uso2又因 4uo1uuso2即 34所以 uo0.3us

uo0.3u s

注：本题说明，当受控电压源与电阻串联或受控电流源与电阻并联时，均可仿效独立电源的等效方法进行电源互换等效。需要注意的是，控制量所在的支路不要变掉发，若要变掉的话，注意控制量的改变，不要丢失了控制量。

2-11 图示电路中R1R3R4,R22R1，CCVS的电压uc4R1i1，利用电源的等效变换求电压u10。

解：原电路可等效变换为题解2-11图所示电路。图中 R(R3R4)//R22R1//2R1R1 对回路列KVL方程，有 uc (R1i1Ri1RR)us2

4R1i1即

2R1i12RR1us1 is1u4R1

所以电压

u10usR1i1usus434us0.75us

2-12 试求图(a)和(b)的输入电阻Rab。

解(a)：在(a)图的a，b端子间加电压源u，并设电流I如题解2-12图(a)所示，显然有

uR2iu1R1iR2i(R1i)R1i(R1R2R1)i 故得a，b端的输入电阻

RabuR1R2R1i

解(b)：在(b) 图的a，b端子间加电压源u，如题解图(b)所示，由KVL和KCL可得电压

uR1i1R2(i1i1)R1R2(1)i1

所以a，b

RabuR1R2(1)i1端的输入电阻

注：不含独立源的一端口电路的输入电阻（或输出电阻）定义为端口电压和端口电流的比值，即

Rinui。在求输入电

阻时，（1）对仅含电阻的二端电路，常用简便的电阻串联、

并联和Y变换等方法来求；（2）对含有受控源的二端电阻电路，则必须按定义来求，即在端子间加电压源u（如本题的求解），亦可加电流源i，来求得端口电压和电流的比值。

2-13 试求图(a)和(b)的输入电阻Rin。

解(a)：在(a)图的1,1端子间加电压源u，设电流i，如题解2-13图(a)所示。根据KCL，有

i1i1iu0R2

i1uR1有因

(1)(u)iu0R1R2由此可得

11()uiR即 1R2 R1R2RinuiR1R2(1) 故输入电阻

解(b)：在(b)图的1,1端子间加电压源u，设端口电流i如题解图(b)所示。根据KVL，显然有

u1u

uR1i1u1R1i1u 由

i1iuR3KCL，得

uR1(iu)uR3联立求解以上式子，可得

即

(1R1)uR1iR3

RinuiR11R1R3R1R3(1)R3R1故输入电阻

2-14 图示电路中全部电阻均为1，求输入电阻Rin。

解：a，b端右边的电阻电路是一平衡电桥，故可拿去c，d间联接的电阻，然后利用电阻串、并联和电源等效变换把

原电路依次等效为题解2-14图(a),(b),(c),(d)。

在图(d)的端口加电压源u，则有

u8i6i2i0.4i 555 Rinu0.4i即电路的输入电阻