极点与系统稳定性

极点对系统性能影响

一．控制系统与极点

自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。

系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。

使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程， sna1sn1an1san0

特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S﹚= C [∏（S-Pi）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。

二．极点对系统的影响

极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析：

⑴连续系统

理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式

设系统函数为：

将H(S)进行部分分式展开：

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系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。

稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为

snts1ts2t )  C …… y (teCeCe12n

（1）只有一个实根：s（2）有一对复根：sj y(t)C1e(j)tC2e(j)t0时，y(t)0 y(t)Cet0时，y(t)恒量0时，收敛

0时，y(t)tCecos(t)0时，等幅振荡 10时，发散 t

t

由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。

通过复变函数幅角定理将S由G平面映射到GH平面。

如果封闭曲线 F 内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R为z和p之差，即R＝z－p。 若R为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。

F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是Ø(s)的分母，即Ø(s)的特征多项式，其零点是Ø(s)的极点。

取D形曲线（D围线）如图所示，是整个右半复平面。 且设D曲线不经过F(s)的任一极点或零点。

s沿D曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数

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因此：

反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数，且有N=N+－N- 其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。

正穿越：随着的增大，开环Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间(- , -1) 。 半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(- , -1) 。

负穿越：随着的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(- , -1) 。 半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(- , -1) 。

若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist 曲线在=0＋时，幅值无穷大，而相角为 。判断稳定性要求=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为 的虚线圆弧。

在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist 曲线的一部分。

(-1,j0) 

同样其他稳定性的判别由劳斯判据和赫尔维兹判据 波的图判据等原理相同。都是由特征方程推出S根没有复实部。

总结：

1.如系统函数H(s)的全部极点落于S域左半平面，则系统稳定。

2.如系统函数H(s)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定。

3.若系统函数H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。

4. 系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。

⑵离散系统

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离散系统稳定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。

G(z) c(t)c*(t)r*(t)

R(z)C(z)

因此引入Z变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列 x(n) 的Z变换定义为X(z)＝Σx(n)z-n ，常用序列的Z变换中z＝e，σ为实变数，ω为实变量，j＝，所以z是一个幅度为eб，相位为ω的复变量。x(n)和X(z)构成一个Z变换时 。

理想的单位脉冲序列：



T(t)(tkT) k

采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信号，调制过程可以表示为：

 *x(t)x(t)T(t)x(t)(tkT) k则： * x(t)x(t)(tkT)k0

x(0)(t)x(T)(tT)x(2T)(t2T)

x(kT)(tkT)



x(kT)(tkT) k0Z变换为：

 *x(t)x(t)(tKT)x(kT)(tKT) k0k0

 **X(s)L[x(t)]x(kT)ekTs k0sT定义： ze

则： **1X(z)X(s)1X(Tlnz)x(kT)zkslnz k0T * Z[x(t)]Z[x(t)]X(z)x(kT)zkk0Z平面： 由以上定义得知Z变换，则如何从S平面映射到

r(t)G(s) x(0)z0x(T)z1x(2T)z2 专业知识整理分享

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Ts

(j)TTjT

T

当 ，则对应在s左半平面，系统稳定映射到Z平面上 z  1 对应在Z平面的单位圆内，脉冲系统稳定；

当 > ，则对应在s右半平面，系统不稳定，映射到Z平面上 z  1 对应在Z平面的单位圆外，脉冲系统不稳定；

当＝，则对应在s平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到Z平面上 z  1 对应在Z平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。

zesjzezeeezTjImz平面10Re

将Z进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。

总结：

稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆（包含在单位圆内）。即稳定系统的系统函数，其极点不应分布在单位圆上！

1.若H(Z)的全部极点落在单位圆内，则系统稳定。

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2.若H(Z)有极点落在单位圆外，或在单位圆上具有二阶以上的极点，则系统部稳定。

3.若H(Z)在单位圆上有一阶极点，但其他极点均在单位圆内，则系统临界稳定。

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