一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ） A．{x|2＜x＜5} ＞5}
2．（5分）复数
=（ ）
B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2或x
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．8 B．9 C．27 D．36
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ） A．y=
B．y=cosx C．y=ln（x+1）
D．y=2﹣x
5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ） A．1 B．2
C．
D．2
6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A． B． C．
D．
7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（ ） A．﹣1 B．3
C．7
D．8
8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 立定跳远（单位：米） 30秒跳绳（单位：次）
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）已知向量=（1，10．（5分）函数f（x）=
），=（
，1），则与夹角的大小为 ．
63
a
75
60 63
72
70
a﹣1 b
65
1.96
1.92
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
（x≥2）的最大值为 ．
11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．
12．（5分）已知双曲线个焦点为（
﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一
，0），则a= ，b= ．
13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则= ．
14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 种； ②这三天售出的商品最少有 种．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4． （1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市
居民该月的人均水费．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． （1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围； （3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
2016年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ） A．{x|2＜x＜5} ＞5}
【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}． 故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．
2．（5分）复数
=（ ）
B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2或x
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案． 【解答】解：故选：A．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
=
=
=i，
A．8 B．9 C．27 D．36
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1， 当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2， 当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为9， 故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ） A．y=
B．y=cosx C．y=ln（x+1）
D．y=2﹣x
【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项． 【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴∴函数
增大；
在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；
C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； D.
；
∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确． 故选：D．
【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．
5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ） A．1 B．2
C．
D．2
【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．
【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为： d=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．
6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A． B． C．
D．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率． 【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人， 基本事件总数n=
=10，
=4，
甲被选中包含的基本事件的个数m=∴甲被选中的概率p==
=．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（ ） A．﹣1 B．3
C．7
D．8
【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．
【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上， 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值， 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．
8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 立定跳远（单位：米）
1.96
1.92
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳（单位：次）
63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论． 【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人， 故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛， 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人， 则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，
剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，
故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛， 故选：B．
【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）已知向量=（1，
），=（
，1），则与夹角的大小为
．
【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】解：∵向量=（1，∴与夹角θ满足： cosθ=
=
=
，
），=（
，1），
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=，
．
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．
10．（5分）函数f（x）=【分析】分离常数便可得到
（x≥2）的最大值为 2 ．
，根据反比例函数的单调性便可判断该
函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值． 【解答】解：
∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2．
【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．
11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为
．
；
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，
棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=， 棱柱的高为1， 故棱柱的体积V=， 故答案为：
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．（5分）已知双曲线个焦点为（
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一
，0），则a= 1 ，b= 2 ．
，0），列出方程组，
【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（由此能出a，b． 【解答】解：∵双曲线焦点为（∴
，0），
，
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个
解得a=1，b=2． 故答案为：1，2．
【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．
13．（5分）在△ABC中，∠A=
，a=
c，则= 1 ．
【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A=
，a=
c，
由正弦定理可得：
=
，sinC=，C=
， ，则B=
=
．
三角形是等腰三角形，B=C，则b=c， 则=1． 故答案为：1．
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．
14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种； ②这三天售出的商品最少有 29 种．
【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．
【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C， 如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有16种； ②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，
当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为：①16；②29．
【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4． （1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列， {bn}是公比为q的等比数列， 由b2=3，b3=9，可得q=bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1； 即有a1=b1=1，a14=b4=27， 则d=
=2，
=3，
则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1， 则数列{cn}的前n项和为
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+
．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．
16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx=由T=
，得ω=1；
．
，得
]（k∈Z）．
．
=
．
（2）由（1）得，f（x）=再由
∴f（x）的单调递增区间为[
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．
17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市
居民该月的人均水费．
【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．
（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费． 【解答】解：（1）由频率分布直方图得： 用水量在[0.5，1）的频率为0.1， 用水量在[1，1.5）的频率为0.15， 用水量在[1.5，2）的频率为0.2， 用水量在[2，2.5）的频率为0.25， 用水量在[2.5，3）的频率为0.15， 用水量在[3，3.5）的频率为0.05， 用水量在[3.5，4）的频率为0.05， 用水量在[4，4.5）的频率为0.05， ∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，
∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米， ∴w至少定为3立方米．
（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：
（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5， ∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；
（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC； （3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明． 【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， ∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C， ∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC， ∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PC⊥AB， ∵PC∩AC=C， ∴AB⊥平面PAC， ∵AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF． ∵点E为AB的中点， ∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF， ∴PA∥平面CEF．
【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆C：
+
=1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则可求，离心率为e=
；
，则椭圆C的方程
（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由2．
【解答】（1）解：∵椭圆C：∴a=2，b=1，则∴椭圆C的方程为（2）证明：如图， 设P（x0，y0），则
，PA所在直线方程为y=
，
+
=1过点A（2，0），B（0，1）两点， ，
，离心率为e=
；
，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值
取x=0，得；
，PB所在直线方程为，
取y=0，得．
∴|AN|=，
|BM|=1﹣．
∴=
=
﹣
=
=
=
∴四边形ABNM的面积为定值2．
．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．
20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围； （3）求证：a﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；
（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出
2
导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点． 【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b， 可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b， 切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c； （2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c， 由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，
由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2）， 当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增； 当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减． 即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0； g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣解得0＜c＜
，
）；
．
＜﹣c＜0，
则c的取值范围是（0，
（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0， 可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点． 即有f（x）有3个单调区间，
即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；
若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，
即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．
故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零
点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．
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