二次函数--二次函数解决实际问题
1. 如图，用长8m的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )
6448
A.m2 B.m2 C.m2 D.4m2 2533
2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )
A.50m B.100m C.160m D.200m
4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐1
标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时
25水面宽度AB为( )
A.－20m B.10m C.20m D.－10m
5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛40
物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，
3则水流下落点B离墙距离OB是( )
A.2米 B.3米 C.4米 D.5米
6. 如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )
3927
A.3cm2 B.3cm2 C.3cm2 D.3cm2
222
7. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y＝－x2＋8x＋9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是( ) A.16元 B.21元 C.24元 D.25元
8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A.5元 B.10元 C.0元 D.3600元
1
9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y＝－x2＋4表示，该隧道内设双行
16道，限高为3m，那么每条行道宽是( )
A.不大于4m B.恰好4m
C.不小于4m D.大于4m，小于8m
10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.
11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外28力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y＝－x2＋x
9910
＋，则羽毛球飞出的水平距离为 米. 9
12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.
13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x＝ 米时菜园的面积最大.
14. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.
15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y＝－x2＋1200x－357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元. 16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大 17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，3
其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示.
5
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.
18. 一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？
19. 如图，某足球运动员站在点O练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按1
照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线时
617
的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m.
2
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
参考答案：
1—9 CACCB CCAA 10. 25 11. 5 12. 15 13. 15 2514. 2
15. 600 2400 16. 22
335193
17. 解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－(x－)2＋，∵－＜0，∴函数的最大值
55245是
1919
.答：演员弹跳的最大高度是米； 44
3
(2)当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4＝BC，所以这次表演成功.
518. 解：由题意，得y＝(x－40)[300－10(x－60)]，即y＝－10x2＋1300x－36000(60≤x≤90).配方，得y＝－10(x－65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x＝65时，y有最大值6250，因此，当该T恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.
19. 解：(1)由题意得：函数y＝at2＋5t＋c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，
0.5＝c∴
3.5＝0.82a－5×0.8＋c
，解得：1
c＝2
25a＝－
16
，∴抛物线的解析式为：
2518
y＝－t2＋5t＋，∴当t＝时，y最大＝4.5；
1625
25
(2)把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，∴当t＝2.8时，y＝－×2.82＋5×2.8161
＋＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门. 2
17171
20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，)，把B(0,4)，C(3，)代入y＝－
226c＝4
x2＋bx＋c得117
－×32＋3b＋c＝26
b＝2
，解得
c＝4
，所以抛物线解析式为
11
y＝－x2＋2x＋4，则y＝－(x－6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D到地面
66OA的距离为10m；
(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA的交点为(2,0)或(10,0)，当x＝2或x22
＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过；
3
1
(3)令y＝0，则－(x－6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－
6x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.
二次函数和圆
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( ) 11
A.y＝x2 B.y＝－x2－1 C.y＝ D.y＝a4x4
8x21
2.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( )
2
A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 3.若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A.m＝1 B.m＞1 C.m≥1 D.m≤1
4.如图，AB是⊙O的直径.若∠BAC＝35°，那么∠ADC＝( )
A.35° B.55° C.70° D.110°
5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC.BD.下列结论错误的是( ) A.AE＝BE B.
C.OE＝DE D. .∠DBC＝90°
7.如图，AD.AE.CB均为⊙O的切线，D.E.F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长为( )
A.8 B.12 C.16 D.不能确定
8.如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反b
比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是( )
x
9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( )
A.圆形铁片的半径是4cm B.四边形AOBC为正方形 C.弧AB的长度为4πcm D.扇形OAB的面积是4πcm2
10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2，其中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π).
1
12.已知抛物线y＝x2－4x上有两点P1(3，y1)、P2(－，y2)，则y1与y2的大
2小关系为：y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”).
13.如图，⊙I是△ABC的内切圆，D.E.F为三个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为 .
14.某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，当每盘的售价涨x元(x取整数)时，该商店月销售额y(元)与x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 . 15.设A.B.C三点依次分别是抛物线y＝x2－2x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是 .
16. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 .
15
17. 已知抛物线y＝x2＋x－.
22
(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A.B，求线段AB的长.
18. 如图，AB是半圆O的直径，C.D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数； (2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
19. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 y … 10 (1)求该二次函数的关系式；
(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3)若A(m，y1)、B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大
0 1 2 3 4 … 5 2 1 2 5 … 小.
20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C.D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E. (1)求OE的长；
(2)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和积.
围成的图形(阴影部分)的面
21. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系为w＝－2x＋240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)当x取何值时，y的值最大？
(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少
元？
22. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长.
23. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点，O为坐标原点.
(1)求此抛物线的解析式；
13
(2)若把抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移个单位长度，再向右平移n(n
3＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
(3)设点P在y轴上，且满足∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，求CP的长.
参考答案：
1—10 ABCBB CCACB 11. 2π 12. ＜ 13. 76°
14. y＝－10x2＋25000 0≤x≤50且x为整数 15. 56
16. x1＝－1，x2＝3
1
17. 解：(1)y＝(x＋1)2－3，它的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为x＝－1；
21
(2)令y＝0，∴(x＋1)2－3＝0，∴x1＝－1＋6，x2＝－1－6，∴AB＝|－1
2＋6－(－1－6)|＝26.
18. 解：(1)∵OD∥BC，∴∠DOA＝∠B＝70°，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝55°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°，∴∠CAD＝35°； BC7
(2)在Rt△ACB中，BC＝7，O是AB中点，OD∥BC，∴OE＝＝，∴DE＝2
22－7
. 2
19. 解：(1)依题意设y＝a(x－2)2＋1，把(3,2)代入得a＝1，∴y＝(x－2)2＋1；
(2)当x＝2时，y有最小值，最小值为1； (3)当m≥2时，y2≥y1，当m＜1时，y1＞y2. 20. 解：(1)连接OC，∵∠D和∠AOC分别是
所对的圆周角和圆心角，∠D＝
1
60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵OE⊥AC，∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝60°，
2
13
∠OAE＝30°.∵AB是⊙O的直径，AB＝6，∴OA＝3，∴OE＝OA＝；
221
(2)∵OE＝OA，∴EF＝OE.∵OE⊥AC，∴∠AEF＝∠CEO＝90°，AE＝CE.∴△AEF
260·π·323
≌△CEO.∴S阴影＝S扇形COF＝＝π.
3602
21. 解：(1)y＝(x－50)·w＝(x－50)·(－2x＋240)＝－2x2＋340x－12000，∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000；
(2)y＝－2x2＋340x－12000＝－2(x－85)2＋2450，∴当x＝85时，y的值最大； (3)当y＝2250时，可得方程－2(x－85)2＋2450＝2250.解这个方程，得x1＝75，x2＝95，根据题意，x2＝95不合题意，应舍去.∴当销售单价为75元/千克时，可获得销售利润2250元.
22. 解：(1)如图，连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABD＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线；
(2)设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，15
∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边
223DE
形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴DE＝
535
23R
，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴＝，∵R＞0，∴R＝3，∵BE是5R3
R＋5
⊙O的切线，∴BE＝DE×AE＝
3×533112×3＋＝.
55
23. 解：(1)把A.B.C三点的坐标代入函数解析式可得，抛物线解析式为y＝－12
x2＋x＋5； 33
16
(2)∵抛物线顶点坐标为(1，)，新抛物线的顶点M坐标为(1＋n,1)，设直线
3
5k＋m＝0
BC解析式为y＝kx＋m，把B.C两点坐标代入可得
m＝5
k＝－1
，解得
m＝5
，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，令y＝1，代入可得1＝－x＋5，解得x＝4，∵新抛物线的顶点M在△ABC内，∴1＋n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，即n的取值范围为0＜n＜3；
(3)当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，由题意可知OB＝OC＝5，∴∠CBA＝45°，∴∠PAD＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA＝45°，∴AD＝PD，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝5，可求得AC＝34，设PD＝AD＝m，则CD＝AC＋AD＝34＋m，∵∠ACO＝∠PCD，∠COA＝∠PDC，∴△COA∽△3
334COAOAC533453334
CDP，∴＝＝，即＝＝，由＝可求得m＝，∴
CDPDPCmPCm2234＋m34＋m＝
34
，解得PC＝17；可求得PO＝PC－OC＝17－5＝12，如图2，在y轴正半轴PC
上截取OP′＝OP＝12，连接AP′，则∠OP′A＝∠OPA，∴∠OP′A＋∠OCA＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，∴P′也满足题目条件，此时P′C＝OP′－OC＝12－5＝7，综上可知PC的长为7或17.
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