顺德市李兆基中学2018届高三下学期考前热身试题
数学(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列复数中虚部最大的是( ) A.92i 2.已知集合A.B.34i
3iC.
2 D.
i45i
Ax|4x3 B.,
Bxx2x50 ,则AB( )
5,4
3,2C.2,4
D.3,2
πtan1,233( ) 3.若角的终边经过点,则33A.7
2B.
37 33C.5 3D.5
y2x13,0,则m( ) m4.若双曲线的一个焦点为
A.22 B.8 C.9
CD.
π4,则AB( )
5.在△ABC中,sinB32sinA,BC2,且A.26 B.5
C.33 D.26
6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示(单位相同),记甲、乙两个几何体的体积分别为V1,V2,则( )
A.V12V2
B.V12V2
C.V1V2163
D.V1V2173
1
12x77.x的展开式中x的系数为( )
2A.84
B.84
C.280
D.280
8.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题:“今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(176两).问玉、石重各几何?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的x,分别为( )
y
A.90,86
B.94,82
xy43x2y6 xy4C.98,78 D.102,74
9.记不等式组
表示的区域为,点P的坐标为x,y.有下面四个命题:
1xy2p1:P,y0;p2:P,2;
6y611xy5;p4:P,25.其中的真命题是( ) B.p1,p3
C.p2,p4
D.p3,p4
p3:P,
A.p1,p2
10.已知底面是正方形的直四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为40π,且AB2,则AC1与底面ABCD所成角的正切值为( ) A.2
B.22 C.3
D.4
2
11.已知函数A.abc
fxlnx21x,设aflog0.2,bf330.2,cf3,
则( )
1.1B.bac C.cba D.cab
x2y2C:221ab0ab12.已知椭圆的右焦点F关于直线3x4y120的对称点为P,
72点O为C的对称中心,直线PO的斜率为79,且C的长轴不小于4,则C的离心率( ) 1A.存在最大值,且最大值为4 1C.存在最小值,且最小值为4
1B.存在最大值,且最大值为2 1D.存在最小值,且最小值为2
第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.若向量
m2k1,k与向量
n4,1共线,则k__________.
πfx1asinaxa0fx614.若函数的最大值为3,则的最小正周期为
__________. 15.现有如下假设:
所有纺织工都是工会成员,部分梳毛工是女工,部分纺织工是女工,所有工会成员都投了健康保险,没有一个梳毛工投了健康保险.
下列结论可以从上述假设中推出来的是__________.(填写所有正确结论的编号) ①所有纺织工都投了健康保险②有些女工投了健康保险③有些女工没有投健康保险④工会的部分成员没有投健康保险
x33x1,x0xfx15xa,x0216.若函数的最小值为1,则a的取值范围为__________.
3
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
aa2an1a22n217.(12分)设Sn为数列n的前n项和,已知a37,n. a1(1)证明:n为等比数列;
a(2)求n的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列?
18.(12分)根据以往的经验,某建筑工程施工期间的降水量N(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量N 工期延误天数X N400 400N600 600N1000 N1000 0 1 3 6 根据某气象站的资料,某调查小组抄录了该工程施工地某月前得到降水量的折线图,如下图所示.
天的降水量的数据,绘制
(1)根据降水量的折线图,分别求该工程施工延误天数X0,1,3,6的频率; (2)以(1)中的频率作为概率,求工期延误天数X的分布列及数学期望与方差. 19.(12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC2,D为棱CC1的中点,
AB1A1BO.
(1)证明:C1O∥平面ABD;
2(2)设二面角DABC的正切值为2,ACBC,A1E2EB,求异面直线C1O与CE所成角的余弦值.
4
11A,y0C:x22pyp2上一点,且A到C的焦点的距是抛物线20.(12分)已知点25离为8.
(1)求抛物线C在点A处的切线方程;
(2)若P是C上一动点,且P不在直线l:y2x9y0上,过P作直线l1垂直于x轴且交l于
AM2点M,过P作l的垂线,垂足为N.证明:21.(12分)已知函数(1)讨论
AN为定值,并求该定值. .
fxax2exea2fx的单调性;
(2)当x1时,
fx0,求a的取值范围.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程
xtcosy1tsintxOyl在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,
2x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为sin23cos0.
(1)写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程; (2)已知点
P0,1,点
Q3,0,直线l过点Q且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求
PM的值.
23.(10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数
fxx2x3fx15.
(1)求不等式(2)若
的解集;
x2afx对xR恒成立,求a的取值范围.
5
数学(理科)参考答案
3i1.【解析】对于A,虚部是2;对于B,虚部是4;对于C,
部是6;对于D,2.【解析】所以
296i186i,虚
i45i54i,虚部是4.∴虚部最大的是C,故选C.
,
Ax|4x3x|3x4,选D.
tan23231,
Bx|x2x505,2,
AB3,23.【解析】由题意可得:
ππ32333tan31tantanπ123373则:.本题选择B选项.
tantany22x13,0m139m8m4.【解析】因为双曲线的一个焦点为,所以,故
2选B.
5.【解析】由正弦定理知b32a,又a2知,b6,所以由余弦定理知:c2a2b22abcosπ264,所以c26,故选A.
6.【解析】由甲的三视图可知,该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体,正方体的棱长
3为8,长方体的长为4,宽为4,高为6,则该几何体的体积为V18446416;
由乙的三视图可知,该几何体为一个底面为正方形,边长为9,高为9的四棱锥,则该几何1V29992433体的体积为,∴V1V2416243173,故选D.
knkkTCab,得12x展开式k1n7.【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式
7的通项为
kkTk12C7xk12x7,则3x展开式的通项为kk1Tk12C7xk,由k12,得
3k3,所以所求x的系数为2C7280.故选C.
28.【解析】执行程序框图,x86,y90,s27;x90,y86,s27;x94,y82,
s27;x98,y78,s27,结束循环,输出的x,y分别为98,78,故选C.
6
9.【解析】根据不等式组画出可行域如图所示:
由图可得,P,y0,故p1正确,则p3错误;令
z11xyyxz22,即,由图可
得,当直线
y1xz4,02经过点时,直线在y轴上的截距最大,此时z最小,则
1zmin422,故p2正确,p4错误.故选A. 22h24π2h10.【解析】设四棱柱的高为,则40π,解得h6,则AC1与底面ABCD2CC163AC2所成角的正切值为.
fxln11.【解析】∵fxlnx21x,
ln∴∴
x21xln1x21xx21xfx, fxlnfxfx,∴函数
fx是偶函数,∴当x0时,易得,
11cf31.f31.x21x为增函
数,∴
aflog30.2flog35,
1.10.20.21.1f3flog5f31log5233∵,031,33,∴,
∴cab,故选D.
7c72y1x25xc3y4246c3xc4y12Px,yFc,0252212.【解析】设,,则,解得,则c1y72e0,c1a2,即C的离心率存在最大值, x79,2a4,a2,
7
1且最大值为2,选B.
k12.
13.【解析】因为向量
m2k1,k与向量
n4,1共线,所以2k14k0,
πfx1asinaxa0614.【解析】因为函数的最大值为1a,1a3,a2,
2ππfxa因此的最小正周期为.
15.【解析】∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险
∴所有纺织工都投了健康保险,故①正确;∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险,部分纺织工是女工∴有些女工投了健康保险,故②正确;
∵部分梳毛工是女工,没有一个梳毛工投了健康保险∴有些女工没有投健康保险,故③正确; ∵所有工会成员都投了健康保险∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的,故④错误. 故答案为①②③.
fx0fx3x23x016.【解析】当时,,所以当0x1时,; 当x1时,当x0时,
fx0fx0;此时,
fxminf11
,a2.
fxminf0a1117.【解析】∵a37,a33a22,∴a23,
an12an122n2an11an11∴an2an11,∴a11,,又a112,a214,
a1∴n是首项为2公比为2的等比数列.
nna12a21, nn(2)解:由(1)知,,∴
22n1n1nSnn2n1n2nS2an2n22210nn12∴,∴,
∴nSn2an,即n,an,Sn成等差数列.
100.5N400mmX02018.【解析】(1)∵的天数为10,∴的频率为;
8
60.3400mmN600mm20X1∵的天数为6,∴的频率为; 20.1600mmN1000mmX3∵的天数为2,∴的频率为20;
20.1N1000mmX620∵的天数为2,∴的频率为.
(2)X的分布列为
X P 0 0.5 1 0.3 .
223 0.1 6 0.1 EX00.510.3301.601.1.222DX01.20.511.20.331.201.61.201.0.720.0120.3242.3043.36.
19.【解析】(1)证明:取AB的中点F,连接OF,DF,
11OF∥BB1C1D∥BB122∵侧面ABB1A1为平行四边形,∴O为AB1的中点,∴,又,
∴OF∥C1D,∴四边形OFDC1为平行四边形,则C1O∥DF.
∵C1O平面ABD,DF平面ABD,∴C1O∥平面ABD.
(2)解:过C作CHAB于H,连接DH,则DHC即为二面角DABC的平面角. CD2tanDHCCH2,∵CH2,∴CD1.以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,
如图所示, 则则
C10,0,2,
B0,2,0,
D0,0,1,
A12,0,2,
O1,1,1uuur1uuur222uuuruuuruuur242,BEBA1,,,CEBEBC,,.
33333334uuuruuuruuuruuuruuurCOCE23∵C1O1,1,1,∴cosC1O,CEuu1u, ruuur326C1OCE33
9
2∴异面直线C1O与CE所成角的余弦值为3.
20.
12py04yp5028, 【解析】(1)依题意得1p51p28p28p1xC2∴.∵,∴,故的方程为2y.
x2yy22,yx,∴由x2y得
x12 12,
又
y0111111yxyx822,即8,∴所示切线的方程为28.
m219Pm,m1AM5mm22. 2,且2)(2)设(,则M的横坐标为m,199m21xNm2my2xPN:yxm54, 8联立可得,22由题可知,与
所以
1915AN5m2m54251m22AM,则
2AN55为定值.
21.【解析】(1)
fxax2aex,
fxRfx2ex0a0当时,,∴在上单调递减. 当a0时,令
fx0,得
x2a2axa;令fx0,得a.
10
2a2a,,fxa,单调递增区间为a. ∴的单调递减区间为当a0时,令
fx0,得
x2a2axa;令fx0,得a.
2a2a,,fxaa. ∴的单调递减区间为,单调递增区间为
(2)当a0时,
fx1,fxf10在上单调递减,∴,不合题意.
f22a2e2ea2a2e2e2e22e0a0当时,,不合题意.
fx1,fxax2aex0a1当时,,在上单调递增, ∴
fxf10,故a1满足题意.
2a2a1,,fxa上单调递减,在a单调递增, 当0a1时,在2afxminff10a∴,故0a1不满足题意.
1,综上,a的取值范围为.
22.【解析】(1)由直线l的参数方程消去t,得l的普通方程为xsinycoscos0,
222由sin23cos0得sin23cos0,
2yC所以曲线的直角坐标方程为23x.
(2)易得点P在l上,所以
tankPQ013035π3,所以6,
3xt2y11t2, 所以l的参数方程为22代入y23x中,得t16t40,设A,B,M所对应的参数分别为t1,t2,t0,
则
t0t1t28PMt082,所以.
11
23.【解析】(1)因为所以当x3时,由
2x1,x3fx5,3x2 2x1,x2,
fx15得8x3;
fx153x2fx152x7当3x2时,由得;当x2时,由得. 综上,
fx15的解集为得
8,7.
,
(2)由因为
x2afxax2fxfxx2x35,当且仅当3x2取等号,
fx所以当3x2时,取得最小值5. x2fxx0所以当时,取得最小值5,
故a5,即a的取值范围为
,5.
12
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