机械能守恒定律计算题（基础练习）
班别： 姓名：
1．如图 5-1-8 所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计， 用力 F 开始提升原来静止的质量为 m＝10kg 的物体，以大小为 a＝2m／s2 的加速度匀加速上升，求头 3s 内力 F 做的功 .(取 g＝10m／s2)
F
图 5-1-8
2.汽车质量 5t，额定功率为 60kW，当汽车在水平路面上行驶时，受 到的阻力是车重的 0.1 倍，：
求：（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？（ 汽车从静止开始，保持以 过程能维持多长时间？
2）若
0.5m/s2 的加速度作匀加速直线运动，这一
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3.质量是 2kg 的物体，受到 24N 竖直向上的拉力，由静止 开始运动，经过 5s；求：
① 5s 内拉力的平均功率
② 5s 末拉力的瞬时功率（ g 取 10m/s2
）
4.一个物体从斜面上高 h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止， 测得停止处对开始运动处的
水平距离为 S，如图 5-3-1，不考虑物体滑至斜面底
端的碰撞作用， 并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数 μ．
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F
mg
图 5-2-5
图 5-3-1
5. 如图 5-3-2 所示， AB 为 1/4 圆弧轨道，半径
为 R=0.8m，BC 是水平轨道，长 S=3m，BC 处 的摩擦系数为 μ=1/15，今有质量 m=1kg 的物体，自 A 点从静止起下滑到 C 点刚好停止 .求物体在轨道 AB 段所受的阻力对物体做的功 .
图 5-3-2
6. 如图 5-4-4 所示，两个底面积都是 S的圆桶， 用一根带阀门的很细的管子相连接，放在水平h1
h2
地面上，两桶内装有密度为 ρ的同种液体，阀
图 5-4-4
门关闭时两桶液面的高度分别为
h1 和 h2，现将
连接两桶的阀门打开， 在两桶液面变为相同高度的过程中重力做了多 少功？
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7.如图 5-4-2 使一小球沿半径为 R的圆形轨道从最 低点 B 上升，那么需给它最小速度为多大时，才
能使它达到轨道的最高点 A？
8.如图 5-4-8 所示，光滑的水平轨道与光滑半圆弧 轨道相切 .圆轨道半径 R=0.4m，一小球停放在光滑
水平轨道上，现给小球一个
v0=5m/s 的初速度，
求：小球从 C 点抛出时的速度（ g 取 10m/s2）.
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图 5-4-2
R
V0
A
B
图 5-4-8
9.如图 5-5-1 所示，光滑的倾斜轨道与半径为 R 的圆形轨道相连接，质量为 m 的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的
最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？
10.如图 5-5-2 长 l=80cm 的细绳上端固定，下端系一个 质量 m＝100g 的小球 .将小球拉起至细绳与竖立方向成
60°角的位置，然后无初速释放 .不计各处阻力，求小球通过最低点时，细绳对小球拉力多大？取
g=10m/s2
.
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图 5-5-1
B
11.质量为 m 的小球，沿光滑环形轨道由静止 滑下（如图 5-5-11 所示），滑下时的高度足够
H R
A
图 5-5-11
大.则小球在最低点时对环的压力跟小球在最高点时对环的压力之差是小球重力的多少倍？
v2 2
v2 2
12．“验证机械能守恒定律 ”的实验采用重物 自由下落的方法 .
h
0
A
v 2
2
h
0
B
v 2
2
O A
B
C
D
0
7.8 17.6
31.4
49.0
(mm)
h
0
C
图 5-8-9
h
图 5-8-8
0
D
（ 1）用公式 mv2/2=mgh 时，对纸带上
起点的要求是
，为此目的，所选择的纸带一、
二两点间距应接近 .
（ 2）若实验中所用的重锤质量 M = 1kg，打点纸带如图
示，打点时间间隔为 0.02s，则记录 B 点时，重锤的速度 vB = 重锤动能 EKB = 量是
5-8-8 所
，
.从开始下落起至 B 点，重锤的重力势能减少 ，因此可得结论是
.
（3）根据纸带算出相关各点速度
V，量出下落距离 h，则以 为
2
v2
纵轴，以 h 为横轴画出的图线应是图
5-8-9 中的 .
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答案
1．如图 5-1-8 所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力 的物体，以大小为 a＝ 2m ／ s2 的加速度匀加速上升，求头
F 开始提升原来静止的质量为 m＝ 10kg
3s 内力 F 做的功 .(取 g＝ 10m ／ s2)
【解析】 利用 w ＝Fscosa 求力 F 的功时， 要注意其中的 s 必须是力 F 作用的 质点的位移 .可以利用等效方法求功，要分析清楚哪些力所做的功具有等效
关系 .物体受到两个力的作用：拉力
F ＇和重力 mg ，由牛顿第二定律得
F
F mg ma mg ma
所以 F
10×10+10×2=120N
图 5-1-8
则 力 F
F 2 1 2
=60N
物 体 从 静 止 开 始 运 动 ， 3s
内的位移为
s
1 2
at =
2
× 2×3=9m
2
解法一： 力 F 作用的质点为绳的端点，而在物体发生 9m 的位移的过程中，绳的端点的位
移为 s/ ＝ 2s＝ 18m ，所以，力 F 做的功为
W
Fs F 2s
60 × 18=1080J
解法二 ：本题还可用等效法求力 F的功 .
由于滑轮和绳的质量及摩擦均不计，所以拉力 即 WF
F 做的功和拉力 F’对物体做的功相等 .
WF F s
120× 9=1080J
2.汽车质量 5t，额定功率为 问：
60kW ，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的
0.1 倍，
（ 1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？ （ 2）若汽车从静止开始，保持以
0.5m/s 2 的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多
长时间？
【解析】 (1) 当汽车达到最大速度时，加速度
a=0，此时
F f P
mg
①
P
Fv m
②
由 ① 、 ② 解得 vm
mg
12m / s
3
F 牵 -μ mg=ma ，解得 F 牵 =7.5 × 10N (2) 汽车作匀加速运动，故
v，则 P = F 牵 ·v，得 v=8m/s 设汽车刚达到额定功率时的速度为 设汽车作匀加速运动的时间为 得 t=16s
t，则 v=at
3.质量是 2kg 的物体，受到 24N 竖直向上的拉力，由静止开始运动，经过
① 5s 内拉力的平均功率
5s；求：
F
② 5s 末拉力的瞬时功率（
g 取 10m/s 2）
【解析】 物体受力情况 如图 5-2-5 所示，其中
F 为拉力， mg 为重力由牛顿第二定律有
F－ mg=ma
2m/s 2 解得 a
mg
图 5-2-5
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5s 内物体的位移
s
1
2
at 2 =2.5m
所以 5s 内拉力对物体做的功 W=FS=24× 25=600J 5s 内拉力的平均功率为
P
W t
600
=120W
5
5s 末拉力的瞬时功率
P=Fv=Fat=24× 2× 5=240W 4.一个物体从斜面上高
开始运动处的水平距离为
h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，
S，如图 5-3-1，不考虑物体滑至斜面底端的
求动摩擦因数
测得停止处对
碰撞作用， 并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同． μ．
【解析】 设该斜面倾角为 α，斜坡长为 l ，则物体沿斜面下滑时，重力和
摩擦力在斜面上的功分别为：
WG
mgl sin mgh
图 5-3-1
W
f 1
m g l
c o s
物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为
S2 ，则 Wf 2 mgS2
ΣW= Ek． 所以 mglsinα－ μmglcosα－ μmgS2=0 对物体在全过程中应用动能定理：
得h－ μS－ μS
2=0． 1
式中 S1 为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故
h S1 S2
h
S
【点拨】 本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀 加速运动和匀减速运动． 依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题． 题的方法，不难显现动能定理解题的优越性． 5. 如图 5-3-2 所示， AB 为 1/4 圆弧轨道，半径为 平轨道，长 S=3m， BC 处的摩擦系数为 的物体，自 A 点从静止起下滑到 段所受的阻力对物体做的功
.
R=0.8m ，BC 是水
μ=1/15 ，今有质量 m=1kg
比较上述两种研究问
C 点刚好停止 .求物体在轨道 AB
【解析】 物体在从 A 滑到 C 的过程中， 有重力、 AB 段的阻力、 BC
图 5-3-2
段的摩擦力共三个力做功，
WG =mgR ，fBC =umg，由于物体在
.根据动能定理可知：
AB 段
受的阻力是变力，做的功不能直接求
W 外=0，所以 mgR-umgS-WAB =0
即 WAB =mgR-umgS=1×10 ×0.8-1 ×10 ×3/15=6J
【点拨】 如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力， 且这些恒力所做的功比较容易计算， 可以求出这个变力所做的功
.
S 的圆桶，
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其余的都是恒力， 而
用动能定理就
研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，
6. 如图 5-4-4 所示，两个底面积都是
h1
h2
图 5-4-4
用一根带阀门的很细的管子相连接， 闭时两桶液面的高度分别为 程中重力做了多少功？
放在水平地面上， 两桶内装有密度为 ρ的同种液体， 阀门关
h1 和 h2，现将连接两桶的阀门打开，在两桶液面变为相同高度的过
【解析】 取水平地面为零势能的参考平面，阀门关闭时两桶内液体的重力势能为：
E
P 1
( sh1 )
h12
( sh2 ) h2
2
1 gs( h12 h22 )
2
阀门打开，两边液面相平时，两桶内液体的重力势能总和为
E P 2
s(h1
h2 )g
1 h1 h2
2 2
由于重力做功等于重力势能的减少，所以在此过程中重力对液体做功 WG
E P1 EP 2
1 gs(h1 h2 )2 4
7.如图 5-4-2 使一小球沿半径为 R 的圆形轨道从最低点 B 上升，那么 A ？
需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点 【错解】 如图 5-4-2 所
示，根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点 圆形轨道最低点
A 时的势能等于它在
B 时的动能（以
B 点作为零势能位置），所以为
mg 2 R
1 mv B2 2
图 5-4-2
从而得
vB 2 gR
【错因】 小球到达最高点 A 时的速度 vA 不能为零，否则小球早在到达 道 .要使小球到达 A 点（自然不脱离圆形轨道），则小球在
A 点之前就离开了圆形轨
A 点的速度必须满足
mg N A
m vA2
R
式中， NA 为圆形轨道对小球的弹力 的弹力和它本身的重力共同提供
.上式表示小球在 .当 NA=0 时，
A 点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它
vA 最小 ,vA = gR .这就是说 ,要使小球到大 A 点 ,则应使小球在 【正解】 以小球为研究对象 小球在圆形轨道最高点
A 点具有速度 vAgR
.
.小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力
A 时满足方程
mg N A
m vA2
R
(1)
根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点 B 时的速度满足方程 (2)
1
mv A2 mg2 R
1
mvB2
2 2
解 (1) ， (2) 方程组得
vB
5gR
R m
N A
当 NA =0 时 ,vB 为最小 ,vB= 5gR .
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所以在 B 点应使小球至少具有
vB = 5 gR 的速度,才能使小球到达圆形轨道的最高点
A.
8.如图 5-4-8 所示，光滑的水平轨道与光滑半圆弧轨道相切
.圆轨道半径 R=0.4m ，一小球停放在光
滑水平轨道上，现给小球一个 出时的速度（ g 取 10m/s 2） .
v0 =5m/s 的初速度，求：小球从
C 点抛
【解析】 由于轨道光滑，只有重力做功，小球运动时机械能守恒
即
.
R
V0
1 2
mv0 mgh2R
2
1 2 2
mvC
A
图 5-4-8
R 的圆形轨道相连接， 要使小球恰能通过圆形
B
解得
vC 3m/s
9.如图 5-5-1 所示， 光滑的倾斜轨道与半径为 质量为 m 的小球在倾斜轨道上由静止释放，
轨道的最高点， 小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最 低点时球对轨道压力多大？ 【解析】
小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持
力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．取轨道最低点 为零重力势能面．
因小球恰能通过圆轨道的最高点
力，根据牛顿第二定律可列mg m
图 5-5-1
C，说明此时，轨道对小球作用力为零，
只有重力提供向心
v2c
得
R
m
1 2
vc2 m R 2
gR
在圆轨道最高点小球机械能 :
EC
1 2
mgR
2mgR
EA mgh
在释放点，小球机械能为 根据机械能守恒定律
:
EC
EA
列等式： mgh
EB
1
mgR mg2R
解得 h
2
5 R 2
同理，小球在最低点机械能
1
mvB2
EB EC vB
5gR
2
小球在 B 点受到轨道支持力
F
F 和重力根据牛顿第二定律，以向上为正，可列
mg m vB2
R
F
6mg
据牛顿第三定律，小球对轨道压力为 6mg ．方向竖直向下．
10.如图 5-5-2 长 l=80cm 的细绳上端固定，下端系一个质量 将小球拉起至细绳与竖立方向成
力，求小球通过最低点时，细绳对小球拉力多大？取 【解析】小球运动过程中， 重力势能的变化量E p 此过程中动能的变化量
m＝ 100g 的小球 .
.不计各处阻
0
60°角的位置，然后无初速释放
g=10m/s 2.
mgh
mgl (1 cos60 )
，
E
k
1 mv 2 .机械能守恒定律还可以表达为 2
Ep
Ek
0
即 mv 2
1mgl (1 cos60 0 )
0
2
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整理得 m
v 2
0
2mg(1
cos 60 )
又在最低点时，有
T mg m
v
2
l
在最低点时绳对小球的拉力大小
T mg
l
m v2
mg 2mg(1 cos60 0 )
通过以上各例题， 总结应用机械能守恒定律解决问题
2mg
l 2 0.1 10N
2N
的基本方法 .
11
的小球，沿光滑环形轨道由静止滑下（如图 5-5-11
所示），滑下时的高度足够大 .则小球在最低点时对环的压力跟小
.质量为 m
B
H
A
R
球在最高点时对环的压力之差是小球重力的多少倍？
【解析】 以小球和地球为研究对象，系统机械能守恒，即
1
mgH
2
图 5-5-11
2 mv A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
mgH
1
mvB2 mg 2R
⋯⋯⋯⋯②
2
小球做变速圆周运动时，向心力由轨道弹力和重力的合力提供 在最高点 A： F A
mg
m vA2 ⋯⋯⋯⋯③
R
在最高点 B： FB mg
m vB2 ⋯⋯⋯④
由 ①③ 解得： 由 ②④ 解得：
F A
mg mg R 2H
2H mg(
R
R 5)
FB
FA FB
mg
6mg
6
F A FB
12． “验证机械能守恒定律
”的实验采用重物自由下落的方法.
O A B C D
0 7.8 17.6 31.4 49.0 (mm)
图 5-8-8
（ 1）用公式 mv2 /2=mgh 时，对纸带上起点的要求是
选择的纸带一、二两点间距应接近
（ 2）若实验中所用的重锤质量
则记录 B 点时，重锤的速度 vB = 的重力势能减少量是
，为此目的，所
.
M = 1kg，打点纸带如图 5-8-8 所示，打点时间间隔为
，重锤动能 EKB = ，因此可得结论是
.
V，量出下落距离 h，则以 .
0.02s，
.从开始下落起至 B 点，重锤
（ 3）根据纸带算出相关各点速度
v
2
为纵轴，以 h 为横轴画出的
2
图线应是图 5-8-9 中的
第11页共12页
【解析】 (1)初速度为 0,
2mm.
.
(2)0.59m/s, 0.174J,
0.176J, (3)C.
在实验误差允许的范围内机械能守恒
第12页共12页
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