2019年天津理科数学高考真题(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

·如果事件A、B互斥，那么P(AUB)P(A)P(B)． ·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)．

·圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式V1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高． 3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A{1,1,2,3,5},B{2,3,4},C{xR|1x3}，则(AIC)UB A．2

B．2,3

C．1,2,3

D．1,2,3,4

xy20,xy20,2．设变量x,y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为

x1,y1,A．2

B．3

C．5

D．6

数学（天津卷﹒理工） 第 1 页（共5页）

3．设xR，则“x5x0”是“|x1|1”的 A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

24．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A．5 C．24

2B．8 D．29

5．已知抛物线y4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线

x2y221(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且2ab|AB|4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为

A．2

B．3 D．5 0.2C．

26．已知alog52，blog0.50.2，c0.5A．acb

B．abc

，则a,b,c的大小关系为 C．bca

D．cab

7．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)是奇函数，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx．若gx的最小正周期为2π，且

g2，则4A．2

3f 8B．2

C．2

D．2

x22ax2a,x1,8．已知aR，设函数f(x)若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，则a的

x1.xalnx,取值范围为 A．0,1

B．0,2

C．0,e

D．1,e

数学（天津卷﹒理工） 第 2 页（共5页）

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数 学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i是虚数单位，则

85i的值为_____________． 1i110．2x3的展开式中的常数项为_____________．

8x11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 12．设aR，直线axy20和圆x22cos,（为参数）相切，则a的值为_____________．

y12sin(x1)(2y1)的最小值为_____________．

xyAB23,AD5,A30，点E在线段CB的延长线上，

13．设x0,y0,x2y5，则14．在四边形ABCD中，AD∥BC,uuuruuur且AEBE，则BDAE_____________．

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知bc2a，3csinB4asinC． （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）求sin2B的值． 616．（本小题满分13分）

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设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

2．假定甲、乙两位同学到校情况互不3（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 17．（本小题满分13分）

如图，AE平面ABCD，CF∥AE,（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角EBDF的余弦值为

AD∥BC，ADAB,ABAD1,AEBC2．

1，求线段CF的长． 3

18．（本小题满分13分）

x2y25设椭圆221(ab0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．

5ab（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON||OF|（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率． 19．（本小题满分14分）

b22a22,b32a34． 设an是等差数列，bn是等比数列．已知a14,b16，（Ⅰ）求an和bn的通项公式；

1,2kn2k1,*kN（Ⅱ）设数列cn满足c11,cn其中． kbk,n2,

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（i）求数列a2nc2n1的通项公式； （ii）求

ii*acnN．

i1x2n20．（本小题满分14分）

设函数f(x)ecosx,g(x)为fx的导函数．

（Ⅰ）求fx的单调区间；

（Ⅱ）当x,时，证明f(x)g(x)x0；

242（Ⅲ）设xn为函数u(x)f(x)1在区间2n,2n内的零点，其中nN，证明42e2n． 2nxn2sinx0cosx0

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）参考解答

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

1．D

2．C

3．B

4．B

5．D

6．A

7．C

8．C

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．

9．13 三．解答题

15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定

理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．

10．28

11．

π 412．

3 413．43 14．1

bc，得bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，sinBsinC42得3bsinC4asinC，即3b4a．又因为bc2a，得到ba，ca．由余弦定理可得

33416a2a2a2222acb199cosB．

22ac42aa3（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sinB1cosB21515，从而sin2B2sinBcosB，487cos2Bcos2Bsin2B，故

815371357． sin2Bsin2Bcoscos2Bsin66682821616．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基

础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为

2，32k21故X~B3,，从而P(Xk)C3333所以，随机变量X的分布列为

k3k,k0,1,2,3．

X

0 1 2 3 数学（天津卷﹒理工）答案 第 1 页（共5页）

1 P 272随机变量X的数学期望E(X)32．

32 94 98 27（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y~B3,2，且3M{X3,Y1}U{X2,Y0}．由题意知事件{X3,Y1}与{X2,Y0}互斥，且事件

X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由（Ⅰ）知

P(M)P({X3,Y1}U{X2,Y0})P(X3,Y1)P(X2,Y0)

P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0)824120． 27992724317．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体

几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．

uuuruuuruuurAD，AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，标系（如图），可得A(0,0,0),则F1,2,h．

B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，E(0,0,2)．设CFh(h>0)，

uuuruuuruuuruuur（Ⅰ）证明：依题意，AB(1,0,0)是平面ADE的法向量，又BF(0,2,h)，可得BFAB0，又

因为直线BF平面ADE，所以BF∥平面ADE．

uuur（Ⅱ）解：依题意，BD(1,1,0),uuuruuurBE(1,0,2),CE(1,2,2)．

uuurnBD0,xy0,设n(x,y,z)为平面BDE的法向量，则uuu即不妨令z1， rnBE0,x2z0,uuuruuurCEn4r可得n(2,2,1)．因此有cosCE,nuuu．

9|CE||n|所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为

uuurmBD0,xy0,（Ⅲ）解：设m(x,y,z)为平面BDF的法向量，则即 uuur2yhz0,mBF0,不妨令y1，可得m1,1,4． 92． h 数学（天津卷﹒理工）答案 第 2 页（共5页）

由题意，有cosm,n|mn||m||n|42h4h23281，解得h．经检验，符合题意．

73所以，线段CF的长为

8． 7

18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性

质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．

2b4,（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，依题意，

c5222b2,c1． ，又abc，可得a5，a5x2y21． 所以，椭圆的方程为54（Ⅱ）解：由题意，设PxP，yPxp0,MxM,0．设直线PB的斜率为kk0，又B0,2，

ykx2,则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立x2y2整理得45k2x220kx0，可得

1,45810k2yP45k220k，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率．在ykx2xP2245k45kxp10k中，令y0，得xM2k．由题意得N0,1，所以直线MN的斜率为．由OPMN，得k245k210k23024k1，化简得k2，从而k．

552230230或． 55所以，直线PB的斜率为19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和

数学（天津卷﹒理工）答案 第 3 页（共5页）

数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q．依题意得6q62d,解得26q124d,d3,故an4(n1)33n1,bn62n132n． q2,所以，an的通项公式为an3n1,bn的通项公式为bn32n．

（Ⅱ）（i）解：a2nc2n1a2nbn132n132n194n1． 所以，数列a2nc2n1的通项公式为a2nc2n194n1． （ii）解：

acaac1aaciiiiiii1i1i1i12i2n2n2nn2i1

nnn221n 24394i1

i12 322n152n19414n14n

* 2722n152n1n12nN．

20．本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想

和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：由已知，有f'(x)e(cosxsinx)．因此，当x2kx5,2k(kZ)时，有44sinxcosx，得f'(x)0，则fx单调递减；当x2k,2k(kZ)时，有44sinxcosx，得f'(x)0，则fx单调递增．

,2k(kZ),f(x)的单调递减区间为所以，fx的单调递增区间为2k4452k,2k(kZ)． 44（Ⅱ）证明：记h(x)f(x)g(x)33x．依题意及（Ⅰ），有g(x)ex(cosxsinx)，从而2 数学（天津卷﹒理工）答案 第 4 页（共5页）

g'(x)2exsinx．当x,时，g'(x)0，故

42h'(x)f'(x)g'(x)xg(x)(1)g'(x)x0．

22因此，hx在区间,h(x)hf上单调递减，进而0． 2242所以，当x,时，f(x)g(x)x0．

242（Ⅲ）证明：依题意，uxnfxn10，即exncosxn1．记ynxn2n，则yn且fynencosyneyxn2n,，42cosxn2ne2nnN．

,时，g'(x)0，所以42由fyne2n1fy0及（Ⅰ），得yny0．由（Ⅱ）知，当xgx在,上为减函数，因此gyngy0g0．又由（Ⅱ）知，

424fyngynyn0，故

2fyne2ne2ne2ne2n． yny02gyngyngy0esiny0cosy0sinx0cosx0e2n所以，2nxn．

2sinx0cosx0

数学（天津卷﹒理工）答案 第 5 页（共5页）