计算机科学 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ 不确定时滞离散系统的鲁棒Ｄ稳定容错控制 孙俊娜 （郑ｇ＇ｌ１财经技师学院，郑州４５００００） 摘要：针对含有传感器失效故障的一类线性不确定时滞离散系统，研究了状态反馈鲁棒容错Ｄ稳定性问题， 其中的参数的不确定性是范数有界的，基于Ｄ稳定性理论和ＬＭＩ方法，设计了一种有记忆的状态反馈控制器， 给出了闭环系统在所有可能的传感器失效故障情况下仍是Ｄ稳定的容错控制器存在的一个ＬＭＩ充分条件，并用 ＭＡＴＬＡＢ的ＬＭＩ工具箱求解控制器参数。数值算例和仿真结果验证了该方法的可行性和有效性。 关键词：离散系统；容错控制；有记忆反馈；Ｄ稳定；传感器故障 中图分类号：ＴＰ１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—７７１２（２０１４）１０—０１２１—０３ 离散系统的容错控制是近年来控制领域研究的热点之 一，不确定时滞在实际生产过程中的普遍存在，且Ｄ稳定容 错控制具有保证其他控制性能的优点，如Ｄ稳定性要求，所 以在对不确定线性时滞离散系统的Ｄ稳定容错控制的完整性 设计方面具有更大的适应性和实用性。 本文将研究不确定线性时滞离散系统的鲁棒Ｄ稳定容错 控制问题，基于Ｄ稳定性理论和ＬＭＩ方法，针对传感器失效 故障，采用带有时滞项的状态反馈控制律，巧妙的构造矩阵 Ｍ和Ｎ，给出了闭环故障系统在任意可能的传感器失效故障时 仍是Ｄ稳定容错性能的充分条件，并运用ＬＭＩ方法得到了鲁 棒Ｄ稳定容错控制器参数的设计方法。最后用仿真实例说明 该方法的实用性和有效性。 ～、问题描述 （一）系统描述 考虑带有参数不确定性的离散时滞系统： ｘ（ｋ＋１）＝［Ａ＋Ａ Ａ（ｋ）］ｘ（ｋ）＋［Ａ］＋△Ａ】（ｋ）］ ｘ（ｋ－１）＋［Ｂ＋△Ｂ（ｋ）］ｕ（ｋ） （１） 其中，ｘ（ｋ）∈Ｒｎ为状态向量；ｕ（ｋ）∈Ｒ 为控制向量；Ａ、 Ａ１、Ｂ为维数适当的常数矩阵；△Ａ（ｋ）、Ａｈ （ｋ）、ａＢ（ｋ） 为系统的参数不确定性，且有如下形式： ［△Ａ（ｋ）Ａ Ｂ（ｋ）Ａ Ａ （ｋ）］ ＝ＤＨ（ｋ）［Ｅ Ｅ。Ｅ ］ （２） 其中，Ｄ，Ｅ１，Ｅ２，Ｅ３为适当维数的常数矩阵；Ｈ（ｋ）表 未知的时变实值连续矩阵函数，其元素Ｌｅｂｅｇｕｅ可测，并且 满足如下关系： Ｈ （ｋ）Ｈ（ｋ）≤Ｉ （３） 系统的初始条件为： ｘ（ｋ）＝Ｏ，ｋ＜Ｏ；ｘ（０）＝ｘ０ （４） 假设（Ａ，Ｂ）可控，采用有记忆状态反馈控制律： ｕ（ｋ）＝Ｇｌｘ（ｋ）＋Ｇ２ｘ（ｋ—ｉ） （５） 其中：Ｇ 、Ｇ。为状态反馈增益矩阵。 （二）（ＥＲ）引理 引理１…若存在正定对称矩阵Ｐ＞０，满足 ＡＴＰＡ—Ｐ＜０ （６） 则离散系统 ｘ（ｋ＋１）＝Ａｘ（ｋ） （７） 渐近稳定。 引理２ 采用线性变换 （ ）：ｒ－ｋ∑Ｃ ） ｆＲ１ 其中Ｃｍｋ＝ｋ！／（ｋ－ｍ）！ｍ！ 则系统ｘ（ｋ＋１）＝（Ａ＋ＡＡ）ｘ（ｋ） （９） 经变换后为ｘ（ｋ＋１）＝ｌ ＋ＡＡ ／ ｌｘ（ ） （１０） 其中：Ａ＝ ‘ｒ 一戗，１ △ ：ｒ，４△，４ （１１） 显然，若系统（１０）是稳定的，则系统（９）的极点位 于圆形区域Ｄ（ａ，ｒ）内（即Ｄ稳定的）。 １２１ ｉ肖舅电子２０１ｑ 引理３＿３ 设Ａ、Ｄ、Ｅ和Ｈ为具有适当维数的实矩阵， 且有Ｈ （ｋ）Ｈ（ｋ）≤Ｉ对任意对称正定矩阵Ｐ＞０和标量￡ ＞０，如果有Ｐ～一￡ＤＤ ＞０，则 （Ａ＋ＤＨ（ｋ）Ｅ） Ｐ（Ａ＋ＤＨ（ｋ）Ｅ） ≤Ａ （Ｐ一 一￡ＤＤ ） Ａ＋￡一 ＥＳＥ 引理４Ｈ 设＠、Ｍ、Ｎ和Ｈ（ｏ）是适当维数的矩阵， 其中０对称，则 ＠＋ＭＨ（ｏ）Ｎ＋Ｎ Ｈ （ｏ）Ｍ ≤０， 对所有满足Ｈ （ｏ）Ｈ（ｏ）≤Ｉ的Ｈ（ｏ）成立， 当且仅当存在常数ｅ＞０，使得： ＠＋￡ＭＭ Ｔ＋ｅ—ｌ Ｎ Ｔ Ｎ≤０ 二、主要结论 考虑传感器失效的情况，引入表传感器故障的开关矩阵 Ｆ，其形式为Ｆ＝ｄ ｉ ａ ｇ（ｆ ，ｆ：，．．，ｆ ）把它放在 反馈阵Ｇ 、Ｇ 与ｘ（ｋ）之间，其中 ， ：Ｊｌ ｏ０当第广个传感器失效时 ，１当蛳个传感器 常时 ｊ １，２，…，ｎ 用①表所有可能的传感器故障开关阵Ｆ组成的集合（Ｆ＝Ｏ 除外）。则传感器失效下的故障闭环系统为： ｘ（ｋ＋１）：［Ａ＋Ａ Ａ＋（Ｂ＋ Ｂ（ｋ））ＧＩＦ］ｘ（ｋ） ＋［Ａ ＋△ｈ （ｋ）＋（Ｂ＋△Ｂ（ｋ））Ｇ２Ｆ］ｘ（ｋ－１） （１２） 设计目标为：寻求状态反馈控制律（５），使得对所有 的传感器失效故障Ｆ ＥＥ①，闭环故障系统（１２）均是Ｄ稳定的， 即对任意传感器失效矩阵Ｆ ＥＥ ，闭环故障系统的（１２）的 极点仍都位于指定的圆形区域Ｄ（ａ，ｒ）内，其中ｒ＞０，ｒ＋ｄ ｌ ＜１。 定理对任意的传感器故障Ｆ∈①及正的常数ｅ＞０， ￡ｌ＞０，Ｙ ｌ＞０，ｙ ２＞０，如果存在正定对称矩阵ｘ１＞０， ｘ。＞０，满足如下的线性矩阵不等式： 『９ 一 Ｎ ］ 卜 一￡ｔ ，０ ｌ ０ （１３） ｌ Ｎ ０ 吨 ，ｊ 其中， 。１ ”ｉ７、，一ｌ ＦＸ１ ０ ０ ０ ０｛ （１３—２） ０ ＦＸ２ ０ ０ ０ Ｉ（１３－３） 则当任意的传感器发生故障时，闭环系统（１２）是Ｄ稳 定的，即闭环系统（１２）的极点位于圆形区域Ｄ（ａ，ｒ）内， 且状态反馈控制增益阵为：ＧＩ—Ｙ ＢＴＸｌ，Ｇ２一Ｙ ２ＢＴｘ２。 计算机科学 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ 证明：对闭环故障系统（１２），令 ｘ１（ｋ）＝ｘ（ｋ－１），ｘ２（ｋ）＝ｘ（ｋ）， ＠＋ｅ １删 ＋８ Ｎ Ｎ＜０ （２３） 令Ｇ１＝一Ｙ ＴＢ Ｘ１，Ｇ２＝一ｙ ２Ｂ＇Ｘ，。 ）＝［ ）ｘ２ ）］ 则系统（１２）可表示为： 由引理４，式（２３）与式（１３）等价，证毕。 三、仿真实例 考虑不确定时滞离散系统（１），其中 ，圣 ＋１）＝０＋ ） ） （１４） ～ 其中：ｊ ［＾＋ ， ＋ ］，ｄ 蹦如峨 曩＋ 】 则系统（１２）的Ｄ稳定性等价于系统（１４）的Ｄ稳定性。 由引理２，这要求系统： ０． ２ ２ ＿１’４ 跚。 ， 氍黼 Ｈ（ｋ）＝ｓｉｎ（０．５ｋ）％Ｉ 即 卦 ； ＋１）＝ｒ 。 ＋ｂＨ（ｋ）ｚ一＆， ） 是稳定的。 由引理１，要求存在正定对称矩阵Ｐ＞０，满足 ｒ （１５） Ｏ＋ ） ， ＋Ｉ￣Ｈ（ｋ）Ｅ—ａｆ Ｐ＜Ｏ Ｌ ｌｂ ． 由引理３，则 考虑传感器失效故障情形，矩阵Ｆｏ＝ｄｉａｇ（１，１）表示传 感器正常，矩阵Ｆ１＝ｄｉａｇ（０，１）和Ｆ２＝ｄｉａｇ（１，Ｏ）分别表示 执行器１和２发生失效故障，利用ＭＡＴＬＡＢ中的ＬＭＩ工具箱， 根据本文给出的定理，求解由矩阵Ｆ。，Ｆ ，Ｆ 构成的线性矩 阵不等式组，取Ｄ（０．１，０．８），￡＝Ｏ．３，￡ ＝Ｏ．３，Ｙ ＝Ｏ．１， ｙ ２＝１８．９，可求得： Ｆ－２ｏ＋ ） 一，）Ｐ・ Ｏ＋ｂＸ（ｋ 一ａｌ Ｐ ｓ ｒ 。Ｌ｝ｏ’１３９ ０‘Ｏ０９４＞Ｏ，Ｘ２ Ｉ ｏ’０ ｏ。Ｏ０＂Ｉ＞Ｏ ００９４ ０．￣２９ｓ］ＬＯ．００１ ７ ｏ．ｏ２ｏ３］ ．：．Ｉ —ａ ］『 一 ） ｒ。（１７） 可得控制器为： ・（ｊ— 』 ｅ Ｆ卜Ｐ ・ Ｇｌ＝ ¨ －０．００５：－６ ．０－０．０ ０７１８７ ｝ ＝ ２ＢｖＸ￣＝ Ｉ ０－．０ ７５３－－００， ．０２５２５９２３ ｌ ｛由定理可知，有记忆状态反馈控制律： （１８） ００５ －０００１８）＝ －０．ｌ、 ｝ ｝＝ ＿００ ００７７ ｌ ｌ ）｝ ０ｏ０ｏ３６ ． １、 ．－石Ｉ ～ ， 一ｃ ａ，）＋ｅ ］一， ｏ —．．则系统（１２）是Ｄ稳定的。 ［Ｘ对式（１８）左、右同乘卜ｌ，并令Ｐ－Ｊ＝Ｘ＝。ＬＦ￣ ］，则 （１９） （２Ｏ） ＋＋Ｉ１ ００７５３－－０ ２２９３ ｛ Ｉ０－．１０９５－０．０５５２］． （－ｋ １１）． 。 Ｉ 、 ＋ｘ 一ａｌ， 一 ）‘ ・Ｏ—ａｌ ＋ 碰 Ｅ，Ｘ＜Ｏ 由矩阵的Ｓｃｈｕｒ补性质，式（１９）等价于 ｆ 嚣 １ ０ Ｌ Ｃ Ｊ 为上述不确定时滞线性离散系统（１）对传感器失效故 障具有Ｄ稳定性的一个有记忆状态反馈控制器。 图ｌ、２、３初始条件为ｘ（０）＝［０．５一Ｏ．５］Ｔ时的仿真结果。 从仿真结果可以表明时滞离散系统（１）在含有传感器失效故 障时仍具有渐近稳定性。说明本文提出的方法是有效的。 其中：Ｗ＝一ｒ。Ｘ 届＝［赡 （ｉ刊玎 ｃ＝ｄｉａｇ（－￣Ｉ，一 —ｅ肋 ）） ｘ＝［（Ｅ＋Ｅ ＧｚＦ）Ｘ，（Ｅ．＋Ｅ ，） ］ ［ 刮） ＝ ｒ 式（２０）即式（２１） 一］ ｋ ｌ ＋ＢＧ２Ｆ）Ｘｊ －ａｌ＋ＢＧ￣Ｆ）Ｘ Ｊ ， Ｘ ０ ０ 一ｒ２Ｘ：（ ＋ ，ｙ 图１ 传感器正常时系统的状态响应 Ｆ１＝ｄｌａｇ（Ｏ，１） ｘ２（Ｅ十 ｛ Ｆ） （ ＋ ２Ｇ２ ）一 瓴＋Ｅ２Ｇ￣Ｆ）ｘ 啊￡， 五 ０ ＋ＢＧ２Ｆ）Ｘ 一 ，＋ ＧＩ，） ０ －Ⅱ ０ ～“＋占Ｇ】Ｆｙ ０ ＜０ ｘｌ ｘ１ｌ＾一ｎＩ＋８ＧｔＦ Ｘ Ｏ ０ Ｘ ＋８ＤＤ 令Ｍ如式（１３－１），Ｎ如式（１３－２），＠如式（１３－３）， 式（２１）可化为： ＠＋心＋（ ） ＜０ （２２） ｋ 由引理４，当且仅当存在常数ｅ＞０，使得 图２传感器１失效故障时系统的状态响应 （下转第１２４页） ２０１ｑ葛奠电子ｆ２２