1. 已知:如图,O是半圆的圆心,C.E 是圆上的两点 ,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO． 求证:CD＝GF．（ 初二）
2. 已知: 如图,P 是正方形 ABCD内点,∠PAD＝∠PDA＝
150． 求证: △PBC是正三角形． （初二）
D
C
3.如图,已知四边形 ABCD.A1B1C1D1都是正方形,A2.B2.C2.D2分别是 AA1.BB1.CC1.DD1的中
点．
求证:四边形 A2B2C2D2是正方形． （初二）
D
B
4.已知:如图, 在四边形 ABCD中,AD＝BC,M.N分别是 AB.CD的中点,AD.BC的延长线交 MN 于 E.F ．
求证: ∠DEN＝∠ F．
经 典 难 题（ 二）
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1.已知: △ABC
中,H为垂心（各边高线的交点 ）,O 为外心,且OM⊥BC
于（M1．） 求证 :AH＝2OM；
0
（2） 若∠BAC＝60, 求证:AH＝ AO． （初二）
A
O
H E
B C M D 2.设 MN是圆 O外一直线,过 O作 OA⊥MN于 A,自 A引圆的两条直线 ,交圆于 B.C
D.E 直线 EB及 CD分别交 MN于 P.Q 求证:AP＝AQ．（ 初二） G
E
及
C
O·
B
M
P
A
Q
N
3. 如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内 , 则由此可得以下命题 :
设MN是圆 O的弦,过 MN的中点 A任作两弦 BC.DE,设CD.EB分别交 MN
于P.Q 求证:AP＝AQ．（ 初二） E
C
4.如图,分别以△ ABC的 AC和 BC为一边,在△ ABC
D 点 P 是 EF的中点． 方形
求证:点 P到边 AB的距离等于 AB的 （ 初
二 ）
E
A
M
P
O
N B
的外侧作正ACDE和正方形
CBFG
G
C
经 典 难 题（ 三）
1.如图,四边形 ABCD为正方形,DE∥AC,AE＝AC,AE与CD F 求证:CE＝CF．（ 初二） A 第 2 页 共 17 页 P F
B
Q 相交于
D
E
2.如图,四边形 ABCD
F．
求证:PA＝PF．（ 初 二）
为正方形,DE∥AC,且 CE＝CA,直线 EC交DA延长线于
P C E
4.如图,PC切圆 O于 C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线 ,AE.AF与直线 PO相交于 B.D．求
证:AB＝DC,BC＝AD．（ 初三）
A
B E
O D
F
经 典 难 题（ 四）
1. 已知: △ABC是正三角形,P 是三角形内一点 ,PA＝3,PB＝4,PC＝5． 求: ∠APB的度数． （ 初二）
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2. 设 P是平行四边形 ABCD内部的一点,且∠ PBA＝∠PDA． 求证: ∠PAB＝∠PCB．（ 初
二）
3. 设 ABCD为圆内接凸四边形 ,求证:AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
4. 平行四边形 ABCD中,设E.F分别是 BC.AB上的一点,AE与CF相交于 P,且 AE＝CF．求证 : ∠DPA＝∠DPC．（ 初二）
经 典 难 题（ 五）
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1. 设 P 是 边 长 为 1 的 正 △ ABC 内 任 一 点 ,LPA ＋ PB ＋ PC, 求
BC
证:
≤L<2．
2. 已知:P是边长为 1的正方形 ABCD内的一点,求PA＋PB＋PC的最小
值．
3. P 为正方形 ABCD内的一点,并且 PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边
长．
AD
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4. 如图,△ABC中,∠ABC＝∠ACB＝800,D.E 分别是 AB.AC上的点,∠DCA＝300,∠EBA＝200,
求∠BED的度数．
答案
经 典 难 题（ 一）
1. 如下图做 GH⊥AB,连接 EO。由于 GOFE四点共圆,所以∠ GFH＝∠ OEG, 即△ GHF∽△ OGE可, 得 EO = GO = CO ,又CO=EO所, 以 CD=GF得证 GF GH CD
BC
2. 如下图做△ DGC使与△ ADP全等, 可得△ PDG为等边△ ,从而可得 △DGC≌△ APD≌△ CGP,得出 PC=AD=DC和, ∠DCG∠= PCG＝150 所以∠ DCP=300 ,从而得出△ PBC是正三角形
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3. 如下图连接 BC1和AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F与A2E并延长相交于 Q点, 连接EB2
并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交 A2Q于G点, 由A2E=12 A1B1= 12 B1C1= FB2 ,EB2= 12 AB=21 BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900, 所以∠ GEB2=∠GFQ又
∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 , 所以 A2B2=B2C2 , 又∠ GFQ+∠HB2F=900和∠ GFQ∠= EB2A2 , 从而可得∠ A2B2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等 , 从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形。
4. 如下图连接 AC并取其中点 Q,连接QN和QM,所以可得∠ QMF∠= F, ∠QNM∠= DEN和∠ QMN= ∠QNM从, 而得出∠ DEN＝∠ F。
经 典 难 题( 二)
1. (1) 延长 AD到 F连 BF,做 OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD, 可得 BH=BF从, 而可得 HD=DF,
又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2) 连接 OB,OC,既得∠ BOC=1200,
从而可得∠ BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。
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3.作 OF⊥CD,OG⊥BE,连接 OP,OA,OF,AF,OG,AG,O。Q 由于AADB AC = CD = 2FD = FD ,
===,
= AE BE 2BG BG
由此可得△ ADF≌△ ABG,从而可得∠ AFC=∠AGE。 又因为 PFOA与 QGOA四点共圆 , 可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ,
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∠AOP=∠AOQ从, 而可得 AP=AQ。
4.过 E,C,F点分别作 AB所在直线的高 EG,CI,FH。可得 PQ=EG + FH
2 由△ EGA≌△ AIC,可得
EG=AI,由△BFH≌△ CBI,可得 FH=BI。
22
从而可得
PQ=
AI + BI
= AB ,
从而得证。
经 典 难 题（ 三）
1. 顺时针旋转△ ADE,到△ ABG,连接 CG. 由于∠ ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得 B,G,D在一条直线上 , 可得△ AGB≌△CGB。 推出 AE=AG=AC=G可C,得△ AGC为等边三角形。 ∠AGB=300,既得∠ EAC=300,从而可得∠ A EC=750。 又∠ EFC=∠ DFA=450+300=750. 可证:CE=CF。
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2. 连接 BD作 CH⊥DE,可得四边形 CGDH是正方形 由 AC=CE=2GC=2CH, 可得∠ CEH=300, 所以∠ CAE=∠CEA=∠ AED=150,
又∠FAE=900+450+150=1500,
从而可知道∠ F=150, 从而得出 AE=AF。
3. 作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出 GFEC为正方形 令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。 tan ∠BAP=tan∠EPF=X = Z
Y Y- X + Z
, 可得 YZ=XY-X2+XZ,
即 Z(Y-X)=X(Y-X) , 既得 X=Z , 得出△ ABP≌△ PEF , 得到 PA＝PF , 得证 。
经 典 难 题（ 四）
1. 顺时针旋转△ ABP 600 , 连接 PQ ,则△ PBQ是正三角形 可得△ PQC是直角三角形。
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所以∠ APB=1500 。
2. 作过 P点平行于 AD的直线, 并选一点 E,使AE∥DC,BE∥PC. 可以得出∠ ABP=∠ADP=∠AEP,可得 :
AEBP共圆（ 一边所对两角相等 ）。 可得∠ BAP=∠BEP=∠BCP,得证。
3. 在 BD取一点 E,使∠ BCE=∠ACD,既得△ BEC∽△ ADC,可得:
BE
= AD , 即 AD? BC=BE? AC, ①
BC AC
又∠ ACB=∠ DCE,可得△ ABC∽△ DEC,既得
AB
=DE ,即 AB? CD=D?E AC, ②
AC DC
由① +②可得: AB? CD+A?D BC=AC(BE+DE)= A·CBD ,得证。
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4. 过D作AQ⊥AE ,AG⊥CF ,由SVADE = SYABCD =SVDFC ,可得:
2
AEgPQ
= AEgPQ ,由
AE=FC。
22
可得 DQ=DG可, 得∠ DPA＝∠DPC(角平分线逆定理 )。
经 典 难 题( 五)
1.(1) 顺时针旋转△ BPC 600 , 可得△ PBE为等边三角形。 既得 EF使最小只要 AP,PE,EF在一条直线上 ,
即如下图 : 可得最小 L=
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要PA+PB+PC=AP++PE+(2) 过 P 点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D,F。 由于∠ APD>∠ATP=∠ADP, 推出
AD>AP ①
又 BP+DP>BP 和 PF+FC>PC 又 DF=AF
由①②③④可得 : 最大 L< 2 ；
(1) 和(2) 既得 :
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② ③ ④
≤L<2 由。
2. 顺时针旋转△ BPC 600 , 可得△ PBE为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+要EF使最小只要 AP,PE,EF在一条直线上 , 即如下图 : 可得最小 PA+PB+PC=A。F
1
既得 AF= + 4
6+ 2
4+ 2 3 2
2
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3. 顺时针旋转△ ABP 900 , 可得如下图:
既得正方形边长 L = (2+
2
+
22
ga =第 15 页 共 17
页
5+ 2 2ga
。
4. 在 AB上找一点 F,使∠ BCF=600 ,
连接 EF,DG,既得△ BGC为等边三角形 ,
可得∠ DCF=100 , ∠FCE=200 , 推出△ ABE≌△ ACF , 得到 BE=CF , FG=GE 。
推出 : △FGE为等边三角形 , 可得∠ AFE=800 , 既得: ∠DFG=400 又 BD=BC=BG既 , 得∠
BGD=800 , 既得∠ DGF=400 推得:DF=DG ,得到: △DFE≌△ DGE , 从而推得 : ∠FED=∠BED=300 。
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