考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷28(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷28 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

正确答案：因为βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n一r(A)。以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件：设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks－1+t1ks)αs=0，由于α1，α2，…，αs线性无关，所以又因系数矩阵的行列式=t1s+(一1)s＋1t2s，当t1s+(一1)s＋1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠一t2时，β1，β2，…，βs线性无关，即为Ax=O的一个基础解系。 涉及知识点：线性方程组

2． 设A为n阶矩阵，α1为AX=0的一个非零解，向量组α1，α2，…，αs满足Ai－1αi(i=2，3，…，s)．证明α1，α2，…，αs线性无关．

正确答案：用定义法 设c1α1+c2α2+…+csαs=0(1)，要推出系数ci都为0．条件说明Aiαi=Aα1=0(i=1，2，3，…，s)．用As－1乘(1)的两边，得csα1=0，则cs=0．再用As－2乘(1)的两边，得cs－1α1=0，则cs－1=0．这样可逐个得到每个系数都为0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩

3． 设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．

正确答案：aex=x2等价于x2e-x-a=0．令f(x)=x2e-x-a，由f’(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0，x=2．当x＜0时，f’(x)＜0；当0＜x＜2时，f’(x)＞0；当x＞2时，f’(x)＜0，于是x=0为极小值点，极小值为f(0)=-a＜0；x=2为极大值点，极大值为f(2)=-a，又=-a＜0．(1)当-a＞0，即0＜a＜时，方程有三个根；(2)当-a=0，即a=时，方程有两个根．(3)当-a＜0，即a＞时，方程只有一个根． 涉及知识点：高等数学

4． 计算下列各题：

正确答案： 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算

5． 3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5－4A3+E．(1)求B的特征值和特征向量．(2)求

B．

正确答案：(1)记f(x)=x5－4x3+1，则B的特征值为f(1)=－2，f(2)=1，f(－2)=1． α1=(1，－1，1)T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值－2． B的属于－2的特征向量为cα1，c≠0． B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量，即是x1－x2+x3=0的非零解．求出此方程的基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(0，1，1)T，B的属于特征值1的特征向量为 c1α2+c2α3，c1，c2不全为0． (2)B(α1，α2，α3)=(－2α1，α2，α3)．解此矩阵方程得 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化

6． 设f(χ)＝∫1χ，求∫01χf(χ)dχ．

正确答案： 涉及知识点：定积分及应用

7． 计算曲线y=ln(1一x2)上相应于0≤x≤的一端弧的长度．

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

8． 设u=．

正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学

9． 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解．

正确答案： 涉及知识点：常微分方程

10． 设

正确答案：u是u=f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得 涉及知识点：多元函数微分学

11． 设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序，将I=f(x，y)dxdy化成累次积分．

正确答案：区域D如图8．18所示，将D分成x≥0与x≤0两部分才是先积x后积y的类型，于是用分块积分法即得 涉及知识点：二重积分

12． 计算

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

13． 已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定

的充要条件是r(A)=m．

正确答案：由(AAT)T=(AT)TAT=AAT，所以AAT是对称阵． 必要性若AAT正定，r(AAT)=m≤r(A)，又r(Am×n2)≤m，故r(A)=m． 充分性若r(A)=m，则齐次方程组ATX=0只有零解，故对任意x≠O，均有ATX≠0，故 XTAATX=(ATX)T(ATX)＞0，即AAT正定． 涉及知识点：线性代数

设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知r(A)=2．

14． 求A的全部特征值；

正确答案：令AX=λX， 由A2+2A=O的(λ2+2λ)X=0，注意到X≠0，则λ2+2λ=0， 解得λ=0或λ=-2． 由r(A)=2得λ1=0，λ2=λ3=2．

15． 当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

正确答案：A+kE的特征值为k，k-2，k-2，当k＞2时，A+kE为正定矩阵．