高三年级 数学试卷
说明：
1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。1-8题为单选，每小题5分；9-12题为
多选，全对得5分，部分正确得2分，选错得0分） 1. 集合
，
，则，间的关系是
A.
2. 已知命题：
B.
，总有
C.
，则
为
D.
A. C.
，使得，总有
B. D.
，使得，总有
3. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走
里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天
的一半，走了天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为
A. 里 B. 里 C. 里
的图象过函数
D. 里
，且
的图象
4. 已知幂函数
所经过的定点，则的值等于
A. B. C. D.
5. 设、是互不重合的平面，、、是互不重合的直线，下列命题正确的是
A. 若B. 若
，，
，，则
，
，则
C. 若D. 若
，，
，，则
，则 中，为
6. 在边长为的正方形
范围是
的中点，点在线段上运动，则的取值
A. B. C. D.
7. 已知奇函数的定义域为且是的导函数若对任意都有
则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 在锐角
足关系式
中，分别为
，则
三边所对的角．若
，且满
的取值范围是
A. B. C. D.
9. （多选题）在复平面内，下列说法正确的是
A. 若复数
为虚数单位，则
B. 若复数满足C. 若复数D. 若复数满足
10. （多选题）关于函数
，则
，则为纯虚数的充要条件是
，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆
的描述正确的是
A. 其图象可由的图象向左平移个单位得到
B.
在单调递增
C. D.
在在
有个零点 的最小值为
11. （多选题）已知函数，则下列结论正确的是
是函数
图象的对称中心
A. 存在B. C. D.
，使得时，点时，时，若
在上存在减区间
有且仅有两个零点，，且
，则
的顶点，分别为上的正投影图形
12. （多选题）在空间直角坐标系中，棱长为的正四面体
在平面
轴和轴上的动点可与坐标原点重合，记正四面体为，则下列说法正确的有
A. 若
平面，则可能为正方形
B. 若点与坐标原点重合，则的面积为
C. 若，则的面积不可能为
D. 点到坐标原点的距离不可能为
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题（共4小题，每题5分） 13. 已知
是
上的减函数，那么的取值范围是 ．
14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼
插器具内部的凹凸部分即榫卯结构啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边
长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 容器壁的厚度忽略不计 15. 在
中，角，，所对的边分别为，，，
，则
的最小值为 ．
，前
项和为
，则
． ，
的平分线交
于点，且16. 数列
满足
三．解答题（共6小题，17题10分，其他题目每题12分） 17. 在
，
两个条件中任选
一个，补充到下面问题中，并解答．在已知______． 求； 已知函数
，
中，内角，，的对边分别为，，，
，求的最小值．
18. 设
的内角，，的对边分别为，，，已知
，且
．
求角的大小； 若向量
与
共线，求
的周长．
19.
为等差数列的最大整数，如
的前项和，且
，
，．
，记
，其中
表示不超过
求，，
；
求数列的前
项和．
20. 已知数列
的前项和为，且
，
．
求数列设数列
的通项公式； 的前项和为，
对任意
的恒成立，求实
数的最大值．
21. 四棱锥
中，底面，侧面
面
为直角梯形，，
．
，
，
求证：；
已知平面与平面的交线为，在上是否存在点，使二面角的余
弦值为？若存在，请确定点位置，若不存在，请说明理由．
22. 已知函数
，其中是自然对数的底数．
设直线是曲线
的一条切线，求的值；
若
，使得对恒成立，求实数的取值范围．
2021-2022学年第一学期期中考试试卷答案和解析
1. 8. 13.
2. 9.
3. 10.
4.
11.
5.
12.
6.
7.
14. 15. 16.
17.【答案】解：
若选择：由正弦定理得，
因为所以
，所以
，又因为
，
，
所以，
因为，，所以，
所以，，所以．
若选择可得整理可得
：，
，
，
，
，
由正弦定理可得由余弦定理可得
因为，所以．
由知：，可得函数，
因为，
所以，可得，
所以，
所以的最小值为．
18.【答案】解：
，
，
，
，
，
，
又为的内角，；
向量
，
由正弦定理可知，由
与共线，
，
，即
，
结合余弦定理可知，
，
的周长为
19.【答案】解：
． 由题意得，所以
，所以
，
又因为，所以，所以
．
所以，所以，，
．
，当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
所以
．
20.【答案】解：
，，，
当时，，即，
又，
，
，，
数列是等比数列，且首项为
，
．
，公比为，
由得．
，
．
，
．
设，
则
，
是递增数列，
，
的最大值是．
21.【答案】
，，
证明：取的中点，连接，
，
， ，，
，
，
， ，是，
平面
平面平面，
又
平面
．
，，又
平面平面
，，
平面
，
平面
， ，
，平面
平面
，
平面
，
，
的中点，
，
解：延长则平面
，，设的延长线和的延长线交点为，连接，
，
和平面的交线为直线
以为原点，以、、平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，，，
，
，
设则设平面则
的法向量为，即
，
，
令设平面则
可得
的法向量为，即
，
，
令可得，
，
，
若二面角的余弦值为，
则，
解得：或，
令可得，解得，
故当时，二面角为锐二面角，当时，二面角为钝
二面角，
，即在直线上存在点，当为
的中点时，二面角
的余弦值为．
22.【答案】解：
，
设切点横坐标为，则
消去，得，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以方程只有唯一的解，代入可得．
设，则，
当时，，在上单调递增，
又当所以
时，
在
，故不符合题意； 上单调递减，在
，所以
上单调递增，
，
于是，
设，
，
因为在上单调递增，且时，
所以所以
在
时，；时，上单调递增，
，
上单调递减，在
所以，
因此，实数的取值范围为．
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