新人教版六年制小学数学五年级下册教材学习材料

新人教版六年制小学数学五年级下册教材学习材料

第一单元：图形的变换

一、如何指导学生在方格纸上画出一个图形的轴对称图形 ？

学生在二年级已经认识了日常生活中的对称现象，有了轴对称图形的概念，并能画出一个轴对称图形的对称轴和它的另一半,这里是进一步认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特征和性质，并学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。本单元教材先设计了画对称轴，观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半的活动,加深对轴对称图形特征的认识，从而让学生在已有的知识基础上探索新知识。

我们在教学时，应注重了解生活实际，可以先布置学生预习，让学生找生活中的轴对称现象，然后带到课堂上交流，结合第2页的主题图，

引出本单元学习的内容。

1、师：（出示挂图）今天老师要带大家先来欣赏几幅漂亮的图案，仔细观察，说一说这些图形有什么特征？

生：这些图案有的是轴对称，有的是旋转，有的是平移得到的。

师：是啊，这些图案不但非常的漂亮，而且还运用了数学知识呢。你们带来了你搜集的图案吗？说一说你搜集的图案是怎么得到的？

揭示课题“轴对称”

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然后可以让学生把例1上面的图形的对称轴画出来

2出示例1，

先不出示对称轴，让一生板演将对称轴画出，再让学生判断是否画对，

你怎么知道他画对了？从而引导学生概括轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。

这一部分内容教学需要特殊注意的是，我们不要求学生说出准确的数学语言，在小学阶段，只要学生能像书上的学生那样直观描述就可以了，只要学生能用自己的语言把“折叠”“重合”这些基本特征概括出来，知道“对应点到对称轴的距离相等”就可以了。

出示例2

先让学生尝试画出房子的另一半，再让学生说说自己是怎么画的？怎样画的又快又好？最后总结出画的步骤和方法：先画几个关键的对称点，再连线。

二、如何指导学生在方格纸上画出一个简单的图形旋转90度后的图形？

1．关于旋转的知识背景。

旋转的描述性定义是：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。根据描述性定义可知，要完成旋转就必须确定两个要素，即旋转中心和旋转角（包括旋转方向）。改变其中的任何一个要素，旋转都会发生改变：旋转中心一样，旋转角不同，最后得到的图案就不同；同样，旋转中心不同，旋转角度一样，得到的图案也不同。因此，当要进行旋转变换时，就有必要让学生说清

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楚他是绕哪一个点旋转的，向哪个方向旋转的角度是多少。

旋转变换具有三个特征：（1）图形的形状、大小不变（2）对应点到旋转中心的距离相等（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。按照旋转的定义，摆动在数学上也是一种旋转现象，如：跷跷板，杠杆

2．对于这部分内容的教学，请注意以下几点。

（1）把握好教学要求。通过这一单元的教学，学生描述旋转现象时，只要说明绕着哪个点旋转（旋转中心）、向哪个方向旋转了多少度（旋转方向和旋转角度）就可以了。

（2）旋转特征的教学是后面教学画图的基础，教学时可让学生体会教材在安排所体现的化归思想（即将图形的旋转化归为线段的旋转）为后面例4教学画法作准备。

（3）对于学生来说，画出旋转后的图形是比较困难的，因此，教材只要求在方格纸上画出一个简单图形旋转90°后的图形。具体来说，画简单图形旋转90°后的图形的关键是：如果没有指定旋转中心，先在图形中找到一点确定为旋转中心，再找到一条通过旋转中心的边，便于画出该条边旋转90°（注意是按顺时针还是逆时针旋转）后的对应边，再根据图形的特征画出其它的边，从而画出该图形旋转90°后的整个图形。

3、教学设想

课前先布置学生搜集生活中的旋转现象后在课堂上汇报交流。根据学生的汇报出示钟面，理解什么是顺时针和逆时针（板书）。完成钟面的相应练习，观察出旋转角度（板书）。再出示风车实物，观察风车的转动和钟面的转动有什么相同的地方？出示旋转中心。风车转动后，每个三角形有什么变化？

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、坐标图上出示风车图，并且在每个三角形上标上序号：谁能说一说一号三角形是通过怎样旋转得到二号三角形的？依次让学生说一说。目的就是让学生明确要想表述清楚三角形的旋转，一定要说清“三角形是绕哪个点旋转”“是向什么方向旋转”“转动了多少度”这几点。同时明确旋转90度后是怎样的，为学例4埋伏笔。如果学生一时间不能理解，可以用一个三角形进行演示。

教学例4

放手让学生自己在书上画出，全班交流。为了照顾中差生，在讲解时还可以借助三角形实物进行演示，要让学生明白其实只要画出从旋转点出发的两条边的垂线然后连线就可以了，但一定要注意对应边的长度要一样。这一部分内容的教学与例1类似，不要求学生用准确的数学语言进行总结和概括。在小学阶段，只要学生能概括出“绕一个点旋转”“向什么方向旋转”“转动多少度”这几点就可以了。像“旋转中心”“旋转角”这些名词也不必要求学生掌握。

三、《欣赏设计》教学分析

教学目标：1．结合欣赏与绘制图案的过程，体会平移、旋转和对称在图案中的应用，并学会设计较复杂的对称图案． 2．参与收集、设计图案的活动，感受图案的美，培养健康的审美情趣．

教材分析：这一内容是在学生已经掌握对称图形的特征，会根据已有图形画出对称图形；知道平移、旋转、对称现象，并能在方格纸画出一个简单图形沿着水平方向、竖直方向平移后的图形等知识的基础上进行教学的．

教材分两部分进行教学．第一部分为欣赏部分，有两幅图，其中第1图是一个简单图形经过旋转得到的，另一幅图是一个简单图形经过平移得到的．这两幅图的呈现不仅要求学生说一说每幅图的特点，即每幅图案是由哪个图形平移或旋转得到的、哪幅图案是对称的，还要适时渗透德育教育．这一部分的教学要引导学生从复杂的图案中感知平移、旋转、对称现象，了解复杂的图案是简单图形经过

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平移、旋转或对称等方法得到的，会从复杂的图案中抽象出简单的图形．第二部分是画一画，有两个要求：第一，画出给定图形的对称图形；第二，根据未画完的图形的特征继续画下去．这一部分教学则要求学生利用平移、旋转、对称现象学会欣赏和设计复杂美丽的对称图案，激发学生参与欣赏与设计对称图案的活动，感受对称图案的美，获得一种以简驭繁的思想．

教学建议

（一）创设情境，建立模型

1．欣赏美丽的图案，感受图案的美和在现实生活中的应用．

在我们的现实生活中，美无处不在，请同学们欣赏这几幅图案，你知道这些图案在哪看得过吗？

2．运用平移、旋转、对称的现象观察、探究美丽的复杂图案．

（1）哪一幅图的图案是由哪个图形平移或旋转得到的？在书上把这个图形涂上颜色．（和同桌同学互相交流自己的想法．）

（2）哪幅图案是对称的？（先独立思考后小组交流、汇报．）

（教师根据学生汇报，利用课件动态展示每幅图案由一个简单图形经过平移、旋转或对称得到的过程．）

（设计意图：让学生感受到对称图案的美，并体验到复杂美丽的图案其实可以用一个简单图形经过平移、旋转或对称得到．）

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3．生活中你还见过哪些图案是由一个简单图形经过平移、旋转或对称得到的？

（先在小组内交流评议课前收集的图案是不是具有以上特征，再全班汇报交流．）

生活中有这么多美丽的复杂图案，它们都是怎样得到的？

（设计意图：让学生感受到这些美丽的复杂图案在现实生活中的广泛应用，进一步强化感知：美丽的复杂图案可以由一个简单图形经过平移、旋转或对称得到．）

（二）解释应用

1．你想不想也来设计一幅美丽的复杂图案呢？

（1）把 向右连续平移两格得到的是怎样的一幅图？在方格纸上画画。

（2）把 进行对称变换，设计出板报栏目的花边。

（设计意图：引导学生学会利用平移、对称的现象，观察、探究图案和进行图案设计，理解并掌握复杂图案是由简单图形经过平移、旋转或对称得到的，获得一种以简驭繁的思想．）

2．小结：你有什么收获？

利用简单图形经过平移、旋转或对称的方法设计的图案，在生活中的应用很广泛，我们能不能把一个简单图形经过旋转，设计出更美丽的图案呢？下节课一起来研究．

第二单元：因数与倍数

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一、本单元内容的编排与以往的教材相比有哪些改进？又有哪些特点？

本单元改进了因数与倍数教学的编排，精简了概念，减轻了学生记忆负担，体现了数学教学改革的新理念。

1.在以往的数学教材中，一直把“整除”概念编排在这一单元的起始位置，再把因数（以往的教材中称为“约数”），倍数，2、5、3的倍数的特征（以往的教材称为能被2、5、3整除的数的特征），质数，合数，分解质因数，最大公因数（以往的教材中称为“最大公约数”），最小公倍数等内容共同编排在后面，合为一个单元。这样编排，虽然突显了以上这些概念的紧密逻辑关系，但也形成了同一单元内概念繁多而集中、抽象程度过高的现象，学生在学习时经常出现概念混淆、理解困难的问题。因此，与以往教材相比，本套实验教材在编写时，对这部分内容的编排进行了适当的调整。将以往教材“因数与倍数”的教学内容分散编排，安排在本册的两个单元里教学。第二单元“因数与倍数”包括因数和倍数，2、5、3的倍数的特征，质数和合数。重点是让学生了解和掌握这些重要的概念；在第四单元“分数的意义和性质”中，结合约分教学“最大公因数”的概念和求法，结合通分教学“最小公倍数”的概念和求法。这样既突出了它们的应用性，又减轻了学生的学习负担。

2. 在以往的教材中，由于求最大公因数、最小公倍数时，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解质因数的方法。因此，作为求最大公因数、最小公倍数的必要基础，“分解质因数”一直作为必学内容编排。而在本册教材中，由于允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数，分解质因数也失去了其不可或缺的作用，同时，也是为了减少这一单元的理论概念，教材不再把它作为正式教学内容，而是作为一个补充知识，安排在“你知道吗？”中进行介绍。

3.与北师大版比较，“数的奇偶性”内容在本套教材中以星号题形式出现而不是像北师大版教材安排了一个小节的知识内容。

4.根据《课标》的要求，因数与倍数所涉及的数的范围在1～100的自然数内，避免题目中的数

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目过大。

5.在例题的安排、素材的选取、习题的设计等方面都采取了新的措施。如：教材P12例题“因数和倍数的概念”教学与以往的教材就有所不同。在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，，如12÷2＝6表示12能被2整除，在此基础上再引出因数和倍数的概念。实际上，乘除法本身就存在着互逆关系，用乘法算式同样可以表示整除的含义。因此，本套教材中没有用数学化的语言给“整除”下定义，而是利用一个简单的实物图（2行飞机，每行6架）引出一个乘法算式2×6＝12，通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。这样，大大简化了叙述语言，减轻学生记忆概念的负担。

与以往的教材相比本单元有以下几个特点：

（1）精简教学内容，突出基本概念教学。不再以整除概念为基础引出因数与倍数，而是在直观的基础上，通过乘法算式得出因数与倍数的概念。由于学生已经积累了丰富的区分整除与有余数除法的知识和经验，对整除的含义能够清晰的理解，不出现整除的定义不会对学生理解其他概念产生影响。因此，本套教材中不再出现“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式na＝b直接引出因数和倍数的概念。

（2）增加了直观和了解实际。以往人们普遍认为，这部分内容的教学过于形式化，一系列的概念引出，似乎都与现实生活无关；从概念到概念，似乎都难以直观。《标准》在教材的编写建议中指出：“相对于第一学段而言，本学段学生的生活经验和知识了解背景更为丰富，他们更多的关注人和事，有进一步了解现实世界，解决问题的欲望，因此，教材要密切了解学生的现实生活，运用学生感兴趣的实例作为认识的背景，激发学生的求知欲，使得学生感受到数学就在身边，与现实世界密切了解。”因此，本套教材对这部分内容的编排，尽量了解实际，内容的呈现、展开注意贴近学生的认知特点。例如，2、5、3的倍数的特征的教学，无论例题还是习题，都加强了了解学生生活实际的素材和插图；又如，教材P20的第2题，P21的3、5题，P26的4题都是和生活紧密了解的。这样的

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处理便于揭示数学与现实世界的了解，有利于学生理解有关概念的现实意义，也有利于培养学生的数学抽象能力。

（3）增加探索性和开放性。如例题中，“3的倍数的特征”的得出过程，“制做100以内的质数表”， 又如练习中，P21的第7题等等，都体现了放手让学生探究，鼓励用多种方法解决问题，培养学生的探索意识和解决问题的能力。

（4）加强了拓展性和知识性。内容精简之后，出于拓展学生知识面的考虑，教材在相关教学内容之后，利用“你知道吗？”“生活中的数学”等栏目，安排较多的拓展性知识作为阅读资料提供给学生。例如教材中的介绍完全数（第14页）、互质数（第83页）的概念，奇数和偶数在日常生活中的应用，哥德巴赫猜想，以及怎样利用分解质因数的方法求两个数的最大公因数（第81页）等，以丰富学生的数论知识，激发继续探求的欲望，培养学生对学习数学、探索数学持久而稳定的兴趣。这部分内容教师不能不教学，但学生不做统一要求。

二、教学本单元时应注意些什么？

1．注意教学内容要与学生的生活实际了解起来，以激发学生的学习兴趣，如：把学生熟悉的自己的座位号，家人的手机号码、电话号码，各种密码，家中的门牌号码等引入课堂教学中，这样学生乐学易记也易理解！如：老师家的门牌号码是一个三位数： 它是2、5、3的倍数，最高位是最小的奇数，第二位是既是偶数又是质数。你知道老师的门牌号码是什么吗？

2．加强对比教学与对比练习。因为本单元概念较多，知识抽象，容易混淆。因此要加强对比知识之间的了解与区别。如这样一组题目：

①5的倍数有哪些？②30以内5的倍数有哪些？③写出5的倍数（5个）。

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你能说说这三个题目的了解与区别吗？从中要让学生得到什么启示呢？

3．灵活运用好教材。“教材为非是个例子”，所以要树立正确的教材观：树立用教材教学而不是教教材。教学时要合理运用好教材，努力挖掘教材资源。如教材P15的第3题，在分别找出8和9的倍数后，可以拓展设问：哪些既是8的倍数又是9的倍数？其中最小的是哪个？为后面学习“公倍数”“最小公倍数”等知识做准备，又如：P19的做一做第2题，可以拓展：2、5、3的倍数中最大的三位数、最大的两位数、最小的两位数各是多少？P22的第10题可以拓展：组成2、5的倍数_______2、3和5的倍数_________等，让教材一题多用。

4．要让学生从本质上熟记一些概念、规律和常用知识，以方便使用，积累经验，熟能生巧。如要求学生背熟因数、倍数、质数、合数等概念，因数与倍数的特点；背熟2、5、3的倍数的特征；熟记20以内的质数、合数、奇数、偶数及最小的质数、合数、奇数、偶数、自然数等。

5．注意“0” 的处理问题。

在这一单元的研究中，到底包括0还是不包括0？

（1）我们是用乘法归纳出因数与倍数的，如0×5＝0，可以说5是0的因数，0是5的倍数；但不能说0是0的因数，因为0不能做除数，所以在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的，数论里的因数不能为0。由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0是否包含在内，给研究问题带来很多麻烦。（如虽然0是任何非0自然数的倍数，但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数”）。而且限于小学生的认知水平，在小学阶段进行特殊约定，一般只在非0的自然数范围内加以研究，因此，教材在第12页中指出“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）”。

（2）奇数、偶数的概念是在整除的基础上定义的，研究的范围是整数， 因为0是2的倍数,因

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此,0也是偶数。为此，教材在17页又指出“0也是偶数”，对“0也是偶数”进行了补充说明，概念是科学的定义，这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾。

（3）与因数和倍数不同，质数和合数在正整数范围内研究，因此讨论质数与合数时不包括0。相应地，如果把正整数分类，应分为：1、质数和合数。

综上所述，由于质数与合数、因数与倍数、奇数与偶数等概念的研究范围不同，为此教材对于0依据不同情况进行了特殊处理。

三、如何运用有序思考的方法找一个非0自然数的因数和倍数？

为了不遗漏，不重复找一个非0自然数的因数可选择用乘法找和除法找两种方法。

1、 乘法找：把一个非0自然数分成1×（ ）、2×（ ）、3×（ ）…。如

18=1×18，18=2×9，18=3×6。找到两个因数比较接近或相等为止。则18的因数是1，2，3，6，9，18。

2、 除法找：把一个非0自然数分别除以1、2、3…等于一个整数且没有余数。如18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6。找到除数和商比较接近或相等为止。则18的因数是1，2，3，6，9，18。

找一个非0自然数的倍数的方法：用非0自然数分别乘1、2、3…所得的积就是它的倍数。

书第22页 第10题，可以先把从4张卡片里任取3张所能组成的所有三位数列出来：430、403、340、304，、405、540、504，、305、530、503，、453、345、354、534、543。罗列的时候，要引导学生采用有序的思考方式保证不重复、不遗漏如4、3、0可组成哪些三位数? 3、

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5、0呢？4、5、0呢？4、3、5呢？然后再分别看这些数属于哪一类。也可以先根据下面各类数的特点确定范围，如这些数字能组成的偶数，个位数只能是0和4，那么相应的数就有430、340、350、530、450、540，304、504、354、534。再如，由于这4张卡片中的3个数相加之和是3的倍数的情况有4＋5＋0＝9，4+3+5=12，因此能组成的3的倍数有450、405、540、504；345、354、435、453、534、543。

第三单元：长方体和正方体

一、教材内容变化和调整

1.长方体、正方体是直接从实物中抽象出相应的图形，不再从与平面图形的对比中引出。

2.由于体积和表面积等概念注意从各方面来进行认识，所以体积和表面积不再安排例题进行对比，但在练习中有相关的渗透。

3.按照《标准》的要求，新增加了探索某些实物体积的测量方法。

二、教学中要注重比较

（1）比较长方体和正方体特征的异同（2）比较长方体表面积的不同算法；（3）比较试验的结果，归纳长方体体积计算的公式；（4）比较长度、面积和体积单位的区别； （5）比较长方体与正方体的体积公式；（6）比较表面积和体积的异同点（意义、计算方法、计量单位）； （7）比较容积和体积之间的区别和了解；（8）比较题目的条件、问题，选用恰当算法。

三、长方体与正方体的认识应特别注意：

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（1）长方体摆放的情况不同，它的长、宽、高就有变化。

（2）长方体和正方体棱长总和的计算方法应该优化。

（3）要充分利用学生的已有经验，引导学生进行迁移推理。

（4）要重视长方体、正方体的相互关系（包含关系）。

四、长方体与正方体的表面积

这部分内容的教学难点在于：学生往往因不能根据给出的长方体的长、宽、高，想像出每个面的长和宽各是多少，以致在列式时出现错误。所以，要重视对表面积概念的理解，加强对展开图的教学，以此来突破难点。

1、加强动手操作，关注展开图的“面”与“体”的位置了解，重视展开图的要素与“体”的要素的了解。

（1）关注展开图的“面”与“体”的位置了解。

（2）关注展开图的要素与“体”的要素的了解。

2、要重视长方体和正方体展开的过程，关注展开策略的多样化为学生的想象提供支持，为解决策略的多样提供可能。教材中没有总结长方体表面积的计算公式，目的是让学生根据表面积的概念自己计算，体现了解决问题策略的多样性和开放性。但在策略多样的同时，千万不可忽视策略的优化，引导学生用较为简便的方法列式计算。

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在实际生活中，经常遇到不需要算出长方体或正方体6个面的总面积的情况。例如，整理没有盖的鱼缸、木箱或铁桶，粉刷房间的墙壁，给泳池铺瓷砖等，就需要根据具体情况考虑应该计算哪几个面的面积。所以，要重视审题能力、分析问题能力、灵活解决问题能力的培养。

五、关于体积和体积单位应注意

1、加强对体积概念的认识。

体积对学生来说是一个新概念。由认识平面图形到认识立体图形，是学生空间观念的一次发展。教材加强了对体积概念的认识。教材通过学生更熟悉、更直观的“乌鸦喝水”的故事、石头放入盛水的杯子里的实验等，以生动形象的方式，为学生体会物体占有空间，理解体积概念提供丰富的感性经验。然后，引导学生观察比较生活中事物的大小，说明不同的物体所占空间的大小不同，从而引入积概念。

2、重视对1立方米、1立方分米、1立方厘米的感受，要充分利用学生已有的长度单位间的进率，面积单位间的进率的方法经验，引导学生迁移、类推。

3.巧记进率。关于长方体和正方体体积计算方法的教学要重视长方体和正方体体积公式的统一。

六、关于容积和容积单位

1.要重视体积和容积的了解与区别。

2.要通过实践活动，让学生感受1升和1毫升的实际大小。

3、让学生经历排水法的过程来计算不规则物体的体积。计算不规则物体的体积，可以让学生利

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用已建立的体积概念想到可以用排水法求不规则物体的体积，让学生重点理解把不规则物体放入水里（或者把不规则物体从水里取出），水的底面积没有变，水的高变了，不规则物体的体积就是上升或者下降那部分水的体积。

七、实践活动粉刷墙壁

这部分教学内容是一个难点；内容多，步骤多，计算繁琐，怎样来突破难点？

在教学时可以先让学生课前调查粉刷墙壁需要收集哪些数据？⑴、粉刷的面积 ⑵、涂料的选择 ⑶、用料的计算。（4）购买多少涂料。⑴在计算粉刷的面积时应注意哪些地方需要粉刷？面积怎样计算？⑵、涂料的选择；课前安排学生利用课外时间展开调查， 涂料的种类很多，如何选择价廉物美的涂料？在选择过程中需要注意什么？在课堂上学生可以根就涂料的价格、性能、容量等因素进行分析，最后确定一种适中的涂料作为计算的依据。⑶在用料的计算上要提醒学生墙壁刷几遍，如果刷两遍。所需要的涂料应是刷了这两遍的总和，再让学生进行计算。4）购买多少涂料，如果出现相同质量的涂料而出现不同规格的包装，让学生在购买时要遵守两个原则一是不要浪费，二是尽量节省钱。（大桶包装的涂料较便宜，因此尽量买大桶的，但同时也要根据需要的量，不能浪费太多。）

第四单元：分数的意义和性质

一、本单元编排上与旧教材的不同与了解

体现如下：

1．多侧面地展现了分数的来源。

从现实需要和数学需要两个方面突出分数的产生。

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2．把因数、倍数的有关知识与分数的相关知识结合起来教学。即：将公因数、最大公因数与约分编为一节；同样，将公倍数、最小公倍数与通分编为一节。在以往的教材中，我们知道公因数和公倍数的概念是由数的整除引入，紧接着单元内一个概念紧跟一个概念，给学生的理解带来负担，而本教材这样的调整，分散了教学的难点，充分利用学生已有知识的迁移，最大公因数的应在于约分中，最小公倍数的应用在于通分中，降低了学习的难度，有利于学生认识的螺旋上升。

3．关注数学的抽象过程，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。本教材的实用性不断加强，无论是概念的引入或者练习的安排都特别注重数学知识在实际中的运用。

4．部分内容作了适当的精简处理或编排调整。

（1）求一个数是另一个数的几分之几的实际问题，原来安排在分数与除法的关系之后，现在挪后。

（2）分数大小比较，不单独列一段，而是与通分结合在一起学习。

（3）删去了原来第2节中把整数或带分数化成假分数的内容。

（4）“分解质因数” 和“用短除法分解质因数”不作为正式教学内容，而只作为一个补充知识，安排在“你知道吗？”中介绍。

二、学生已有知识基础有哪些？

1、在三年级上学期，已经初步认识了几分之一和几分之几（基本上是真分数），知道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1的分数，以及同分母分数的大小。还学习了简单的同分母分数加、减法。

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2、已经感受过分数是由平均分后，反映整体与部分的关系。

3、学习了因数和倍数等概念，掌握了2、3、5的倍数的特征。

学好本单元的内容是顺利掌握分数四则运算并学会运用分数知识解决一系列实际问题的必要基础。

三、本单元教学建议与畅想

本单元建议 20课时左右。

（一）分数的意义的教学

本节教材由分数的产生、分数的意义、分数与除法的关系三个层次的内容组成。通过这三个层次的教学，能使学生比较完整地建立起分数的概念。

1. 通过揭示概念的现实意义，激发学生的学习兴趣。

分数的意义的教材本身具有很强的现实意义，就是我们生活中遇到很多的分物情况，而且富有相当的趣味性。教学时，应充分利用教材的这一特点，为学生提供现实的分物情境，在分得过程中，说的过程中去体会分数的意义。

在分数的产生的教学中，教材的情景图只展示了测量和分物两种情况下，得不到到整数的结果，教师还要在课堂中补充在计算中，往往也不能得到整数结果，在这三种情况下，形成认知冲突，突出扩充整数的必要性。

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2．重视概念的形成过程。

在本节的教学中，必须重视单位“1”和分数单位这两个概念，以及分数与除法关系的认识。因为这三个知识点是完整分数概念的重要组成部分，而且它们本身又比较抽象。所以教学时，应注意由具体到抽象，由个别到一般，适当展开概念的形成

（二）真分数和假分数

1. 数形结合，帮助学生建构概念意义。

理解这两种分数，我们有几种有利的工具：一是用图形的等份，揭示真分数、假分数和带分数的意义；二是用数轴上的点，两种分数的集中位置，清楚揭示真分数、假分数的大小。在教学中，我们要充分运用好这些材料，帮助我们突破难点。

2. 方法与算理、概念结合，帮助学生掌握方法。

假分数化带分数或整数的方法，既可以由分数与除法的关系导出，例如7/3=7÷3=2…1=2 1/3，又可以根据分数的意义来解释假分数化带分数或整数的结果，结合直观图解释。教学时，先让学生探索交流，感受方法的多样性。在交流的过程中，学生优化各自的想法，教师“画龙点睛”式的引导，促进学生对方法的理解，而不是让学生简单机械的简单模仿学习，再通过回顾反思、讨论交流，统一并总结“化法”。

（三）分数的基本性质

1. 加强直观操作活动，帮助学生理解分数大小相等的算理。

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这里是本单元的重点内容之一。教学时，可以通过折纸、涂色的操作活动，使学生获得非常具体、真切的感知。有的教师单依靠说理来弄懂它，这样会在后面的教学中留下疑点。

2．教学例1时，观察规律，一定要从两个方向来进行，得出分母和分子的变化规律（图示）。对于五年级的学生来说，找与1/2相等的恶分数应该是比较容易的，关键是通过让学生说明分数相等来感受分数分子和分母的变化。

3．通过观察例1后，让学生自主举例，从具体到一般，得出分数的基本性质。

4．注意通过类比，利用商不变性质，来理解分数的基本性质。 分数基本性质与商不变性质，在内容上、在语言叙述上，具有很大的一致性，有利于促进教学的正迁移。教学中，要引导学生用除法中商不变的性质来说明分数的基本性质，利用这些知识来帮助学生归纳、理解分数的基本性质。

（四）约分

大家可以看到，这是本套教材与旧教材最大的一个区别的地方，最大公因数是与约分一起编排的。而且，分解质因数的方法找最大公因数是做为一个“你知道吗？”提出的。那么我们在充分吃透教材的基础上，注意以下几点：

1. 用好教材资源，把握好了解实际的“度”。

本单元教材在教学公因数和最大公因数概念时，采用了由实际问题——铺地砖问题引入概念的方式。而不是像以前的教学利用直观教具和学具来引入公因数和最大公因数的概念，已开始就出现公因数和最大公因数的应用问题，问题解决和概念引入结合在一起，教学的难度比以往的教材自然要稍大一些，这样的处理的好处是便于揭示数学与现实世界的了解，有利于学生理解公因数、最大公因数概念的现实意义。

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在练习中，也安排有应用最大公因数的实际问题。这些教材资源应当充分利用好。考虑到从现实情境中抽象出两个数的最大公因数的数学问题大多具有一定的思维难度，因此教学时不宜过多地补充其他情境的类似问题，以免增加学生的学习困难。

2. 要重视对分解质因数方法的拓展。

除了书上介绍的两种方法A．分别列出18和27各自的因数，从中找出公因数，再看哪个最大；B．先写出较小的数18的因数，从中圈出27的因数，再看哪个最大。还要对学生教学利用分解质因数的方法，找最大公因数的拓展，这可以单独加一课时进行拓展。对是否使用短除法不作统一要求。因为教材中呈现的都是比较直观、直接的思考方法，实际中，学生遇到分数约分的问题，也不会拿笔计算，就是用教材的方法去思考。但我们也可以提升学生的抽象逻辑思维能力，从两个数的质因数入手，去找他们的公因数。

3. 要结合具体素材，介绍互质数的含义。

在例3中，教学最简分数的概念，在之前可以结合情况，告诉学生，当分子和分母只有公因数1时，它们也叫互质数。这也是教材P83页“你知道吗？”的内容。这个处理可以在P83页第6题，按要求写出最大公因数是1的两个数时，告诉学生这里写出的数，也叫互质数。

4．要总结概括出几种特殊情况下，两个数的最大公因数。新课讲完后，结合“做一做”的练习，归纳出：a、当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数是1。b、当两个数之间有倍数关系（一个数是另一个数的因数）时，比较小的数是它们的最大公因数。教材没有文字概括，但是在实际教学中，要求学生能知道并记住。

约分是本单元的重点内容之一，方法就是找公因数和最大公因数。本节内容安排4课时，建议在加一课时。通过二个课时教学完最大公因数的概念及求法后，补充一课时单独讲解“分解质因数”并

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补充相应练习。第四课时教学最简分数的概念及约分的方法，完成配套练习十六的习题，在这里个人认为要注意的是，“最简分数”的概念不是告诉，是探究，是感悟，是在学生多次尝试中自己得出的结论。虽然此时还没有开始“化简分数”，但寻找最简分数的过程就是他们自我尝试“约分”的过程，是在练习判断最简分数的过程。

（五）通分

与最小公因数和约分的教学类似。也可以补充课时介绍分解质因数找两个数的最小公倍数。按照《标准》的要求，教材中只出现求两个数的最小公倍数。搞好本节内容的教学，除了继续用好教材资源，把握好了解实际的“度”，继续适当加强口算练习以外，同时还要注意：

1、与九年义务教育大纲教材相比，课标实验教材在编排上和要求上有两点变化需要注意：一是将分数的大小比较与通分结合在一起学习，在解决异分母分数大小比较问题的过程中教学通分。二是通分时不强求取两个分母的最小公倍数做公分母，可以把分母都化成两个分母的最小公倍数，也可以化成其他较大的公倍数，教学时应让学生说说是怎样确定公分母的，为什么这样确定，帮助学生自己感悟方法的优势和不足。

2、注意揭示约分和通分的异同。约分和通分既有了解，又有区别。它们的了解在于：都是根据分数的基本性质，都要保持分数的大小不变。他们的区别在于：约分可以只对一个分进行，而通分至少要对两个分数进行；约分是对分子、分母同除以一个不等于0的数，而通分则对分子、分母同乘一个不等于0的数；约分的结果是最简分数，而通分的结果是同分母分数。教学时，要注意引导，促使学生理解约分和通分的异同，以防止混淆。

3、概念的教学也应体现解决问题策略的多样化。学生比较异分母分数的方法可能有3至4种，一是画图表示2/5和1/4，直观比较；二是把分数化成效是来比较；三是理解分数和小数的互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的了解，深刻理解分数、小数的意义，而且为学习分数、小数的混合运

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算打好基础。

（六）分数和小数的互化

1、揭示知识与方法的内在了解，在理解的基础上掌握方法。

先用小数和分数两种不同的方式表示同一个除法运算的结果，3÷10既等于0.3，也等于3/10，建立起两者的了解。教材在例1中直接阐明了分数和小数的了解，小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几……的数，进一步提高对小数概念的理解，并指出可以把这些小数直接写成分母是10、100、1000……的分数。在此基础上，引导学生发现规律，总结小数化成分数的方法。

2、分数化小数的方法多样，注意方法的归纳与总结

一般方法：

分子÷分母（除不尽时按照要求保留几位小数）

特殊方法：

A．分母是10、100……的，利用小数的意义来化。

B．分母不是10、100……的，可以化成分母是10、100……的，再写成小数。

其中，分母不能转化成10、100、1000……的分数化成小数，是学生学习分数化小数的难点，应用前面的方法都不能解决问题，此时可以安排学生讨论、研究，教师在关键处给予学生适当启发、引导，帮助学生在自己的知识系统中找到解决问题的关键性知识—分数与除法的关系，找到一般方法

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来解决。对于三种方法，教师反馈时，要注意先后顺序，并有所侧重。

3、关注互化结果，促进有意识记。

一些常用的分数、小数互化值，在现实生活中经常会用到。所以，我们应该提醒学生有意识的通过练习，逐步记忆1/2与0.5，1/4与0.25，1/5与0.2，1/10与0.1等互化结果，要求背下来，为后面的学习垫定良好的基础。

化成同分母分数进行比较；四是化成同分子分数进行比较。

第五单元：分数加法和减法

一、本单元教学时要注意哪些方面？

1. 引导学生认识分数加减法与整数加减法的内在了解。分数加减法的含义与整数加减法的含义是完全相同的。它们的计算方法从表面上看截然不同，但实质上有一个共同的特点，就是“相同单位的数才能相加减”。从这个意义上来讲，不论是整数还是分数的加减法，都要统一单位后才能进行。当分数的单位统一后，分数的加减运算也就归结为整数的加减了。教师应采用数形结合的策略，通过折纸、画图等活动寻找答案。如1/4+2/4时，先在长方形纸上表示1/2，要把纸对折一次；在这张纸上表示1/4，要再对折一次。两次对折，折痕使1/2变成2/4，直观地把1/2+1/4变成

2/4+1/4。也可以从通分的知识出发，思考“能不能化成同分母的分数来计算”，寻找新的计算转化成已有计算的途径……学生在探索计算方法的过程中能够培养解决问题的策略，发展创新意识。

2. 注重对算理的分析，以算理引入算法。

抽象概括出分数加减法的一般计算方法，是本单元教学的重点。要搞好这一过程的教学，必须处

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理好算理与算法，单纯记忆与发展思维之间的关系。教学时，应通过观察、思考、说理、交流等活动，让学生经历用算理引入算法的重要过程。使学生明白：①计算同分母分数加、减法时，“分母不变”是因为分母相同，也就是分数单位相同，所以只用分子进行加、减；②计算异分母分数加、减法时，只要将异分母分数转化为同分母分数就可以了。这样教学，不但使学生明白算理是算法的灵魂，而且避免了机械用法、单纯记忆的弊端，达到“明理驭法”的目的。

3. 处理好独立探究与合作交流的关系，不可偏废任何一种方式。

本单元的学习内容，是在三年级上册简单的同分母分数加减计算的基础上发展的，教学时，应充分考虑学生已有的认知经验，首先提供给每一位学生独立探究的时间和空间。在学生探究得比较成熟时，具备了和同伴交流的“资本”和“底气”时，再组织他们进行合作交流。如教学第1节例1计算“1/8+3/8”、例2计算“3/4-1/4”、例3计算“4/15+1/15+7/15”时，应让每一位学生自主思考、计算，然后再交流计算的过程和想法；又如教学第2节例1（1）计算1/4+3/10，例1（2）计算3/10-3/20时，首先应让每一位学生思考：用学过的知识解决，行吗？试一试。在学生充分尝试、探究的基础上再组织交流。

交流时，重点放在“相同单位的数才能相加，怎样表述相加的过程”这一核心问题上，使交流达到“互通有无、取长补短、心领意会”的目的。

二、如何在情境中提高解题能力

人教版小学数学新课程实验教材的一个显著特点是：将四则计算和解决问题有机的结合在一起。要学习的内容从实际的问题引入，学生掌握了知识后，又出现问题情景，引导学生逐步学会数学的思考问题,综合的创造性的运用各种知识去解决实际问题。

1．根据学习内容选择适当的教学情境

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本单元的内容比较简单，但是它跟我们的生活关系密切，因此在生活中可以找到大量的素材。在根据“让学生在现实情境中体验和理解数学”的理念，进行教学时应根据不同的教学内容选择不同的教学情境。例如：教学第117页例1时，除应用教材提供的“云梦森林公园地貌情况的情境外，还可根据当地的实际，选择学生比较熟悉的情境进行教学。（例如：分西瓜、分脐橙等学生喜闻乐见的情境）。教学第119页例2时，则应创设富有挑战性的问题情境。如提出问题不用计算，你就能O里填什么关系等号吗？这一提问，就把例2的教学转换成具有潜在意义的问题，在新知识的学习与学生原有认知结构（整数加减法运算定律）之间架设桥梁，把学生引入渴望探究的情境。

2．结合实际问题选择适当的算法。

结合实际问题选择适当的算法应让学生明白两点：1.解决同样的问题可以有不同的解题思路，如：第117页第一小题的教学中，应鼓励学生结合实际问题寻求解题的不同路径，可以列式为 ＋ － ，也可以列式为 － ＋ 或 － ＋ 。2.同一个算式可以用不同的算法求出结果。教学时应让学生对比不同的算法，养成处处留意用简明灵活的方法解决问题的习惯。

让学生在情境中学习，把计算和解决问题整合在一起，不断的提高学生提出问题，分析问题，解决问题的能力是我们教学的根本。

第六单元：统计

一、在本单元中平均数、众数和中位数的区别与了解是什么？教学平均数、众数和中位数时应注意什么？

（一）区别与了解

区别：

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1．反映情况不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来代表一组数据的总体“平均水平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的集中情况。

2．特点不同

平均数：与每一个数据都有关，其中任何数据的变动会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小，当出现偏大数时，平均数将会被捕抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响，其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也要能会有多个或没有。

3．作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较

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的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数表示这组数据的“集中趋势”）就比较适合。

了解：

这三个统计量虽反映有所不，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。

（二）教学时应注意的问题

1.教学时应注意在给出众数的概念后引导学生在分析比较中理解平均数、众数和中位数的区别与了解，进而理解为什么用众数确定队员身高，理解众数的统计意义。

2.关于选择平均数、众数和中位数作为一组数据的代表问题，学生较难理解，有时没有唯一正确的答案，只有合适与否的问题。如：教材例1中，根据舞蹈比赛实际需要身高均匀的人站在舞台上比较好看，因此用众数选人较合适。

二、怎么教学才能让学生更容易理解本单元《打电话》这一教学内容？

1、《打电话》这节综合实践活动课。通过生活中学生熟悉的打电话这一生活素材，让学生帮助

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老师设计方案、并从中寻找最优方案。使学生进一步体会数学与生活的密切了解。通过画图的方式发现隐含的数学规律，培养学生归纳推理的思维能力。这节课教师要充分相信学生，给他们充足的思考交流时间，学生间思维的碰撞有可能创造课堂的亮点。在教学中，可以首先情景导入，然后提出问题，为学生留出较为充裕的思考与实践的时间，让学生独立思考或小组合作解决问题的办法，鼓励学生多种思考解决问题的办法。为达到这一教学目的，可以设计三次逗留：①分组是个好办法，怎么分呢？②分组越多越好吗？试着研究一下。③让前面打完电话的同学同时打就能节省时间了，怎么分组呢？这三次逗留中，每次提出问题之后，都要让学生在独立思考的基础上进行小组讨论交流，从而得出各种方案，教师尽可能全面地把握学生的多种情况，并努力搜集和捕捉学生中好的资源与好的问题，并呈现各种资源。因此才会有学生多种精彩的方案设计与层层递进的问题呈现。

2、其次，充分交流，资源共享，有效互动，促进生成。

从教学过程看，打电话的方案从低层次的“逐个通知”到较为常规的“分组通知”，从“平均分组”到“分组可以有不同”，从“老师、组长同时打”到“每个接到通知的人都同时打”，方法从低层次到最优化，学生的理解与认识是一个逐步递进的过程，其“逐步优化”的线索是相当清晰的。从而达到“资源共享，有效互动，促进生成”之目的。因此，在教学中有必要组织学生思考：在这些方法中，哪些方法是对的，哪些方法是错的，哪些方法比较好，为什么？通过小组讨论，学生思维之间的碰撞，学生就有可能认识到原先自己的认识是错误的，或不完善的。这样，经过学生个体的独立思考、个人的经历和体验以及学生群体之间的讨论和思维碰撞而形成正确的认识。在交流和讨论的过程中，教师则关注捕捉信息、判断信息和处理信息，不断激发学生向高层次思考，从而形成师生、生生之间的有效互动，促进新方法、新观点、新创意的有效生成。

3、教学时应注意

（1）提示学生利用画图表的直观形式解决问题，教材上给出了很好的解决问题的直观形式。如：教材用□表示表示老师，用○表示学生，不同分钟用了不同的颜色表示等。

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（2）注意数学模型是一种理想化的理论，在实际情境中，我们不光要考虑时间问题，更要考虑事先设置。如通知方案包括每人通知的对象和流程图，并且这个实施方案每个人都理解，否则这个方案就是无法实施的。

第七单元：数学广角

数学广角《找次品》的几点思考

在小学四年级上册时，我们学生在数学广角的单元中，学过了《烙饼中的学问》，体验到在解决问题中的优化思想。同时在具体的生活实践中，学生也有这样类似的生活经验。

那么这节课到底给学生讲什么？目标的定位在哪里？

从教材的意图、数学广角承担目标和学生学习数学的价值上去考虑，这一学习过程是应该偏重于关注学生数学思维的培养，培养学生用数学的角度来解决问题的能力，特别是一些简单的逻辑推理能力的培养。侧重于数学知识――“保证找次品的次数”。我们应更多地从解决问题的多样化和优化策略去分析，培养学生解决问题的能力。同时也从学生思维能力的培养角度去分析，更多的是让学生全面地客观地分析事物两种现象，并进行合情推理。

让学生学习“找次品”，学生利用“天平平衡”来找到次品，可是我们很多学校都没有天平教具，即使有，操作起来也不是那么容易。所以，我们可以用双手模拟天平，小方块代替物品，进行合理地、全面地推理。我们可以引导学生，天平上面有两个托盘，这两个托盘就相当于我们的两只手，如果两个托盘里面的东西一样重，天平会怎么样？（平衡）假如不一样重的话天平会怎么样？（一边高一边低）低的那边物体怎么样？（比较重）高的那边物体比较轻。在学习模拟实验的同时，做好相关记录。

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“找次品”优化策略的关键是什么？

我们在找物品中的次品时，只要把物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，就尽量平均分成3份。也就是最多的份数与最少的份数的个数只差1个。就一定能用最快的方法把次品找出来。我们还可以配上一首儿歌让学生容易记忆。

一个次品混其中，知道次品重或轻。

物品个数均三份，不能均分相差一。

放入天平称一称，次品立即现原形。

但是有两点必须得搞清楚：其一，为什么要分成3份呢？2份难道不行吗？可以跟学生一起探讨。如：12个可以分成（6、6），也可分成（4、4、4），但是保证找到次品的次数都是3次，那么就是分成2份和3份都是可以的。是吗？仔细分析一下“分成2份，从12个里找1个次品”变成了“从6个里找1个次品”；而“分成3份，则变成4个里找1个次品”，这样一分析，我们可以清楚地看出原来这两种分法，次品所在范围缩小的程度不一样，前者范围大，后者范围小。

其二，同样是分成3份，为什么尽量平均分比较好？如11个可以是分成（4、4、3），也可以分成（5、5、1），保证找到次品的次数都是3次，但是哪种更好一些呢？是不是也从上面的分析来入手，就是考虑秤了一次，次品所在范围缩小程度如何？（4、4、3）平衡的情况下，次品所在范围缩小到3个；不平衡情况下是缩小到4个。（5、5、1）呢，平衡情况下，一次就能找到，但是这样的可能性很小；不平衡情况下是缩小到5个。当数据大起来，这样的比较会更加的明显。

通过这样的比较，我们不难发现“找次品”优化策略的关键在于：天平两边放同样多的情况下，秤一次使得次品所在范围变得尽可能的小。那么也就是要分成3堆，尽可能平均分。所以教学新课

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时，建议把例题中的5个物品改为3个，从3个物品入手教学，学生理解起来也会容易些。

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