捕鱼问题

问题 捕鱼问题

建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大捕捞量。 1. 问题分析

本问题是一个典型的可再生资源开发的数学模型。我们取每年开始捕捞时刻作为与数量的计数时刻，考虑同一年龄组在一年中生长过程的时间连续性，我们用微分方程的模型分析在一年中的不同阶段分界点上鱼数量的关系。在可持续捕捞的前提下，本模型表现为鱼数量在开始捕捞时刻不变，通过求解捕鱼量关于捕捞强度系数的表达式的极大值，得到最高年收获量及对应捕捞强度系数。 2. 模型的假设

根据问题的要求提出以下假设;

(1)鱼分为1，2，3,4龄鱼，4龄鱼存活一年后仍划为4龄鱼。

(2)各年龄组鱼的自然死亡率为0.8/年，且死亡是一连续过程，不是在某时刻突发的。

(3)3,4龄鱼在一年的最后四个月集中产卵，且在该4个月的开始时刻进行；3龄鱼产卵量为0.5*1.109*105/条，4龄鱼产卵量为1.109*105/条；卵孵化成活为1龄鱼，成活率为1.22*1011/（1.22*1011+n）。

(4)捕捞在产卵孵化前8个月进行，且捕捞是一连续过程，不是在某一时刻刻发生；捕捞强度系数固定，只能捕捞3,4龄鱼，它们的捕捞强度系数只比为0.42:1。

(5)经济效益以捕捞总量来衡量。 在假设（1）中，我们认为4龄鱼存活之下一年后，可被当做4龄鱼捕杀，且仍具有生殖能力，故可视为4龄鱼。在假设（3）中，因为孵化需要时间，而产卵孵化集中完成，故认为产卵孵化在开始时进行，这是对模型的简化，在后面的讨论中，我们将看到这种简化不影响模型的精确性。卵的成活率为1.22*1011/（1.22*1011+n）这个假设是正确的，它反映了当产卵数过多时，由于竞争必将导致成活率的减少。 3. 模型的建立与求解 （1）参数的说明

在下面的讨论中用到表1-1中的记号。

用R表示非负实数集合，单位时间死亡总数与鱼总数之比称为自然死亡率。单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数之比称为捕捞强度系数。 表1-1

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参数 T t 定义 年份 时间 时间间隔 i龄鱼的数量 自然死亡率 年产卵数量 3龄鱼捕捞强度系数 4龄鱼捕捞强度系数 3龄鱼每年产卵量 4龄鱼每年产卵量 为计算方便而引入 值域 0,1,2，… R [0,1] R t Ni r n 单位 年 年 年 条 1/年 个 1/年 1/年 5E3 E4 0.8 R R R 3 4  0.5*1.109*10 1.109*105 R 个/条 个/条 条

（2）模型的建立

考察1,2龄鱼的生长过程，根据Scheafer模型

dNirNi, i=1,2 dt得Ni(t)N0ert。

T年的龄鱼在T+1年变为i+1龄鱼，所以

Ni1(T1)erNi(T)

考察3,4龄鱼的生长过程，根据Scheafer模型，在前8个月，由于捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程为

dNi(rEi)Ni， i=3,4 dt求解得Ni(t)N0e(rEi)t，N0为每年年初的i龄鱼总数，由此可得，在时刻t的捕捞为EiNi(t)，则年捕捞量为

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2/30EiNi(t)dtEiN0(1e(Eir)2/3) （1.0） Eir在后4个月，只有死亡率起作用，因而微分方程为

dNirNi dt得

Ni(t)N0ert （1.1）

N0为第8个月末时的i龄鱼总数，计算的T年第8 个月末i龄鱼数为

Ni(t)e(rEi)2/3 （1.2）

T年末存活数Ni(t)e(rEi)2/3er/3erNi(T)eEi2/3。

根据以上分析，得出整个生存过程中满足的关系为

n(T1)3N3(T)e(E3r)2/34N4(T)e(E4r)2/311N(T1)1.22*10n(T1)11.22*1011n(T1)r （1.3） N2(T1)eN1(T)rN(T1)eN2(T)3N(T1)N(T)e(E32/3r)N(T)e(E42/3r)344E30.42E4其中3，4，n的定义见表1-1. （3）模型的求解

在可持续捕捞的前提下，Ni(T)趋于平衡，因而Ni与T无关，可得以下方程组

n3N3e(E3r)2/34N4e(E4r)2/31.22*1011nN11.22*1011nN2erN1N3erN2N4N3e(E32/3r)N4e(E32/3r)E30.42E4其中Ni为第i中种鱼的平衡数量。解得

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1.22*1011nN11.22*1011ner*1.22*1011*nN21.22*1011n

e2r*1.22*1011*nN31.22*1011n1.22*1011*n*e(E32/33r)N4(1.22*1011n)(1e(E42/3r))而nn1.22*10n11，其中为方便计算而设的变量。

2E8r(3)331.22*1011*e*(34e2E4r32E4r3)

1e以上方程组解的结果如下:当1.22*1011时，n1.22*1011或n=0.当

1.22*1011时，n=0.

事实上，当鱼群还未达到平衡状态时，由方程组（1.3）可得

n(T3)n(T)1.22*10n(T)11

由于

n(T3)n(T)n(T)1.22*1011n(T)n(T)

n(T)1.22*1011n(T)1.22*1011n(T)

所以当1.22*1011，当1.22*1011，n(T)1.22*1011时n关于T单调递增，

n(T)1.22*1011时n关于T单调递减。这表明无论n(T)初值如何，最后必将趋于1.22*1011。

由此可知当1.22*1011时，n=0为不稳定解，n1.22*1011为稳定解。 当1.22*1011时，n随T单调递减，这表明无论n(T)初值如何，最终趋于n=0，即无鱼状态。

现在我们来求可持续捕捞时能获得最高年产收获量的E3，E4的值。 利用（1.4）式得捕捞量

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Weight(E4)Max{17.86N3E3E4(1e(E3r)2/3)22.99N4(1e(E4r)2/3),0}E3rE4r（当E4过大时，1.22*1011时，n=0无鱼可捕，故Weight取Max函数）

我们使用软件包Mathematica对weight求解，并画出它关于E4的函数，如图1-2所示，所求出最大捕鱼量为3.88707*1011g，对应得

E417.3629,E37.292，此时鱼群分布结构为

N11.19599*1011， N25.37394*1010 *107 N32.41467*1010， N48.39538同时可知在E4=31处，Weight退减成0，所以0E431为捕捞强度系数的限制范围。

3. 10 2. 10 1. 10 1111115 10 15 20 25 30 35

图1-2 捕捞强度系数

针对渔业公司的5年捕捞计划，我们利用已得到的迭代方程（1.3）在已知各个年龄组鱼的初始值（N10,N20,N30,N40）的前提下，可迭代地求出（N1i,N2i,N3i,N4i）即第i年时鱼的分布是E4的函数，其中Nji是j龄鱼第i年的条数。

根据（1.0）式可求出5年的捕捞总量：

4E3E(E3r)2/3Weight(E4)(N3i)17.86*(1e)(N4i)*22.99*4(1e(E4r)2/3)E3rE4ri0i04对此我们编织了程序，并作出了Weight关于E4的函数图象，由图得最大捕捞鱼

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总量WeightMax1.6057*1012g，对应E3=7.3836，E4=17.58，此时，每年的捕捞量分别为

W12.34401*1011g, W22.14853*1011g

W33.96176*1011g *1011g， W43.77835 W53.82216*1011g

为了分析对于鱼群的生产能力破坏程度，我们认为在天然的情况下鱼的生态系数总能趋于平衡，而对鱼的捕捞，使鱼的数量偏离了其平衡点，因而对鱼的生产能力的破坏就可以用5年捕捞后鱼群数量恢复所需的年数来衡量。

首先我们先求天然平衡点，在E4=0（即不捕捞情形下），代入方程（1.30）得

N11.21981*1011， N25.48098*1011 *1011 N32.46276*1011， N42.00953此即为无捕捞下的平衡点，由方程组（1.3），知Ni(T)呈指数分布，故可认为当

Ni(T)2Ni时鱼群已恢复生产能力。而鱼恢复的越快，即对鱼生产能力破坏2越少，因此我们认为如在5年捕捞后的4年（鱼的1个生长周期）内恢复生产能力，那么捕捞就对生产能力没有太大的破坏。

为了验证我们得到的使得5年捕捞最大的E4是符合不对鱼生产能力造成较大的破坏的要求，又通过计算来观察当经过5年捕捞及停止捕捞后鱼的数量的恢复过程。由图可知停止捕捞两年鱼的生产能力就得恢复，故我们可认为没有破坏鱼的生产能力，这是一个可接受的策略。

为了对鱼的捕捞进一步研究，将r=1,2，…，10的r年连续捕捞的收获总量关于捕捞强度系数的函数一起绘出。此外，求出了连续捕捞r年的对应最佳捕捞强度系数如下：

4年：E4=18.42 5年：E4=17.58

6年： E4=17.56 7年：E4=17.50 8年： E4=17.46 9年：E4=17.46 10年：E4=17.44

由图像可知，在1,2,3年因产的卵不会在捕捞年限内生长为3、4龄鱼。因此捕捞量随捕捞强度增大而增大，而4—10年均出现极值点。且随时间加长偏向于可持

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续捕捞情况下的最优捕捞强度系数，这是合乎情理的。事实上，由于4—10年最优捕捞强度系数与可持续捕捞的最优系数非常接近，我们认为它们对生产能力的破坏均不大。 （3）模型的评价

在模型求解过程中，我们曾讨论在0E431时，无论鱼群初始分布如何，最终必趋于稳定解，此解由E4唯一决定。在E431时，无论如何分布，最终必趋于稳定解。我们可以通过数值计算来验证这一点。

对0E431的情形，取E4=17.3629，考察初始分布N10122*109，

N2029.7*109，N30101*109，N40329*109和初始分布N1010*109，

N2010*109，N3051*109，N402.1*109。在这两种情况下鱼均收敛于同一分布，与初始分布无关，对E431的情况，取E4=40，取初始分布N10122*109，

N2029.7*109，N30101*109，N40329*109。最终收敛于无鱼状态，从而与理论吻合。

本模型以成熟的Scheafer模型为基础，结合离散模型和连续建模的方法，成功的解决了可持续捕捞问题最优解及已知初始分布的最优捕捞问题，得到了较为精确且合理的结果，并将捕捞期限推广至任意年限。本模型据有广泛的普遍性和合适性：只要改变其中的部分系数（如自然死亡率、初始分布），即可应用于其他种群的生存和开发问题，以此模型为理论基础，可制定出开发可再生资源的最优策略，具有现实意义。

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