小学数学竞赛：组合之插板法.学生版解题技巧 培优 易错 难

7-5-4.组合之插板法

教学目标

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．

知识要点

一、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的

m组合数．记作Cn．

一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pnm可分成以下两步：

m第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cn种方法； m 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pm种排法．

mmPm根据乘法原理，得到PnmCn．

m因此，组合数CnPnmmPmn（n1）（n2)L（nm1）．

m（m1）（m2）L321这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

mnmCn一般地，组合数有下面的重要性质：Cn(mn)

mnm这个公式的直观意义是：Cn表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法．Cn表示从n个元素中取出(nm)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法．

32C5例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C5．

n01，Cn1． 规定Cn

插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法． 使用插板法一般有如下三种类型： ⑴ m个人分n个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(n1)m1个空隙中放上(m1)个插板，所以分法的数目为Cn1．

⑵ m个人分n个东西，要求每个人至少有a个．这个时候，我们先发给每个人(a1)个，还剩下[nm(a1)]例题精讲

m1个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为Cnm(a1)1．

⑶ m个人分n个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m个东西，每个人多发1个，这样就

m1和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了(nm)个，因此分法的数目为Cnm1．

【例 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的

放法。

【例 2】 在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______ 种．

【例 3】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法．

【巩固】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有

种．

【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？

【巩固】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？

【例 4】 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？

【巩固】 将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有 种不同的放法。

【例 5】 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出

节目数的不同情况共有多少种？

【例 6】 (1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?

(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?

【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？

【例 7】 马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯

关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？

【巩固】 学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，

但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？

【例 8】 在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？

【例 9】 兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的

装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法？