直线和圆的方程知识及典型例题

数学基础知识与典型例题

直线和圆的方程

直线和圆的方程知识关系 直线的方程 一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是0≤180. 2.直线的斜率:倾斜角不是90的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率k,即ktan. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当90时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. y2y1(x,y)P(x,y)(xx)ktan③过两点P、的直线斜率公式 11122212x2x1二、直线方程的五种形式及适用条件 名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k—斜率 b—纵截距 (x0，y0)—直线上已知点， k ──斜率 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 适用条件 倾斜角为90°的直线不能用此式 倾斜角为90°的直线不能用此式 与两坐标轴平行的直线不能用此式 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 A、B不能同时为零 两点式 yy1xx1= y2y1x2x1截距式 一般式 xy+=1 abAx+By+C=0 (A、B不全为零) --精品

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直线的方程 注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法; ⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. ⑶直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）是一一对应的. 例1. 过点M(2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1, 则a的值为( ) (A)1 (B)4 (C)1或3 (D)1或4 例2. 若 直线的方程 ,, 则直线2xcos＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围（ ） 62 (C) (0,) (D) 5 (A), (B) 5,,662626 例4. 连接A(4,1)和B(2,4)两点的直线斜率为____,与y轴的交点P的坐标为____. 例5. 以点(1,3)和(5,1)为端点的线段的中垂线的方程是 . 两直线的位置关系 一、两直线的位置关系 1. 两直线平行: ⑴斜率存在且不重合的两条直线 l1∶y=k1x+b1， l2∶y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2; ⑵两条不重合直线l1,l2的倾斜角为1,2, 则l1∥l212. 2.两直线垂直: ⑴斜率存在的两条直线l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2, 则l1⊥l2k1·k2= -1; ⑵两直线l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0， 则l1⊥l2A1A2+B1B2 = 0 3. “到角”与“夹角”: ⑴直线l1到l2的角（方向角）； 直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,). 注:①当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠-1时,tank2k1;②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断. 1k1k2例6. 将直线2x3y60 绕着它与y轴的交点逆时针旋转45的角后，在x轴上的截距是( ) (A)4255 (B) (C) (D) 5524 例7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，若点（7，3）与点（m ,n）重合，则m+n的值为( ) (A)4 (B)－4(C)10 (D)－10 例8. 与直线 :2x3y50平行且过点A(1,4)的直线__________。 例9. 已知二直线 的方程是l1:mx8yn0和 l2:2xmy10，若l1l2，l1在y轴上的截距为-1，则m=_____，n=____. --精品

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两直线的位置关系 ⑵两条相交直线l1与l2的夹角： 两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,2,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时， 则有tank2k1. 1k1k2 4.距离公式。 ⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=|Ax0By0C|AB。 22； ⑵两平行直线l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1C2|AB22例10. 经过两直线 11x－3y－9＝0与 12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_______. 例11. 已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3）， C（3，-2），求： ⑴BC边上的高所在直线方程；⑵AB边中垂线方程；⑶∠A平分线所在直线方程. 5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数. 含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的， 即旋转直线系和平行直线系. ⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中， ①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系， ②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系. ⑵已知直线l：Ax+By+C=0， 则①方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系； ②方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。 ⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0， 直线l2：A2x+B2y+C2=0， 则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示过l1与l2交点的直线系（不含l2） 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路. 例12. 已知定点 P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程. 简单的线性规划 ⑴当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0； ⑵当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。这就是二--精品

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线性规划 元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。 利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。 简单的线性规划 例13. 若点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围是 (A)a7或a24 (B)7a24 (C)a7或a24 （D）以上都不对 例14. ABC的三个顶点的坐标为A(2,4)，B(1,2)，C(1,0)，点P(x,y)在ABC内部及边界上运动，则y2x的最大值为 ，最小值为 。 xy1≥0例15. 不等式组：xy≤0表示的平面区域的面积是 ； y≥0 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？ --精品

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曲线和方程 （利润=学费收入－年薪支出） 曲线与方程：在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时： ① 曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解； ② ②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程. 注:⑴如果曲线C的方程是F(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C上的充要条件是F(x0 ,y0)=0 ⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形, 坐标法是几何问题代数化的重要方法。 ⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限）、代、化. --精品

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曲线和方程 例18. 点M(t2,t6)适合方程yx3是点M在曲线yx3上的 ( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)什么条件也不是 例19.曲线C1：x2y2x与C2：2xyy的交点数是（ ） (A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个 例20. 已知定点A(1,0)，B(1,0)，点M与A、B两点所在直线的斜率之积等于4，则点M的轨迹方程是 例22. 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O24. 过动点P分别作圆O1、圆O2的切线，使得PM2PN. PM，PN（M，N分别为切点）试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程. --精品

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圆的方程 确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。 一、圆的方程形式: ⑴圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中（a,b）是圆心坐标,r是圆的半径； ⑵圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）, D2E24FDE圆心坐标为（-，-），半径为r=. 222xarcos⑶圆的参数方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（r>0）的参数方程为:（为参数,表示ybrsin旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。 注: ①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法; ②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识. ③圆的直径式方程： (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0,其中A(x1,y1),B(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）. 二、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种： ⑴代数法：直线：Ax+By+C=0，圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组 △0相交AxByC0消元判别式一元二次方程△0相切 222△b4acxyDxEyF0△0相离（2）几何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为dr相离|AaBbC|d=，则dr相切 A2B2dr相交 三、圆和圆的位置关系： 设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下： ①|O1O2|>r1+r2两圆外离； ②|O1O2|=r1+r2两圆外切； ③| r1-r2|<|O1O2|< r1+r2两圆相交； ④| O1O2 |=| r1-r2|两圆内切； ⑤0<| O1O2|<| r1-r2|两圆内含。 注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）. --精品

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圆的方程 四、圆的切线: 1.求过圆上的一点(x0,y0)圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切1线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程; k2.求过圆外一点(x0,y0)圆的切线方程:⑴(几何方法)设切线方程为yy0k(xx0)即kx-ykx0y00,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出. ⑵(代数方法) 设切线方程为yy0k(xx0),即ykxkx0y0代入圆方程得一个关于x的一元二次方程,由0,求得k,切线方程即可求出. 注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为xx0yy0r2. 圆的方程 例23.若直线1axy1＝0与圆x2y22x0相切，则a的值为( ) (A)1或1 (B)2或2 (C)1 (D)1 例24. 两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的位置关系是（ ） (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 例25. 已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为( ) (A) (x+1)2+y2=1 (B) x2+y2=1 (C)x2+(y+1)2=1 (D)x2+(y-1)2=1 例26. 若直线4x-3y-2＝0与圆x2y22ax4ya2120有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ） (A)-3＜a＜7 (B)-6＜a＜4 (C)-7＜a＜3 (D)-21＜a＜19 xsin例27. 把参数方程（为参数）化为普通方程，结果是 . ycos1 例28. 过点(1,1)的直线被圆x2y22x0截得的弦长为2，则此直线的方程为 --精品

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例29. 圆的方程为x2+y2－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。

例30.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，

⑴求实数m取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程

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数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案

1例1.A 例2.B 例3.C 例4. 、(0,3) 例5. xy20例6.B 例7.C

2例8. 2x＋3y＋10＝0 例9. 0,8, 例10. 13x5y290 例11. 解:⑴∵ kBC=5,∴ BC边上的高AD所在直线斜率k= ∴ AD所在直线方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0

⑵∵ AB中点为（3，1），kAB=2,∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0 ⑶设∠A平分线为AE，斜率为k，

则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。

k12k∵ kAC=-1，kAB=2,∴ , 1k12k∴ k2+6k-1=0,∴ k=-3-10（舍），k=-3+10

∴ AE所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0

评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)

|2xy5||xy1|为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。52还可注意到，AB与AC关于AE对称。 例12. 解题思路分析：

直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。 解:设Q（x0，4x0），M（m，0） ∵ Q，P，M共线∴kPQkPM

44x05x04∴ 解之得：m

x016x06m∵ x0>0，m>0∴ x0-1>0 ∴ SOMQ151510x021 |OM|4x02mx02x0110(t1)2110(t2)≥40 令x0-1=t，则t>0,Stt当且仅当t=1，x0=11时，等号成立,此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0 评注：

1例13.B 例14.42例15.例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.

420≤xy≤30(1)例17.解：设初中x个班，高中y 个班，则

28x58y≤1200⑵设年利润为s，

则s600.06x400.15y21.2x2.51.6y1.2x2y

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作出（1）、（2）表示的平面区域， 如图，过点A时，S有最大值， xy30由解得A（18，12）. 28x58y1200易知当直线1.2x+2y=s

即学校可规划初中18个班，高中12个班, smax1.21821245.6（万元）.

可获最大年利润为45.6万元.

评 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式，②作出可行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是函数方程思想的应用.

y24441(x1)例21. (x)2(y)2 例18.A 例19.D 例20. x+4339例22. 解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则

2

O1(2，0)，O2(2，0).由已知PM2PN，

得PM22PN2.因为两圆半径均为1，

21).设P(x，所以PO1212(PO2y)，

则(x2)2y212[(x2)2y21]， 即(x6)2y233.(或x2y212x30)

例23.D 例24.C 例25.C 例26.B

例27. x2+(y-1)2=1 例28. x+y=0或x+7y-6=0

例29. 解：x2+y2－6x－8y=0即(x－3)2+(y－4)2=25， 设所求直线为y＝kx。

∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3，

|3k4|3， ∴ d2k17∴9k224k169(k21)，∴k。

247x或x0。 ∴所求直线为y24例30.⑴m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，

1即7m2-6m-1<0,∴m1

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316⑵半径r=7m26m17(m)2 774713 ∵ m1,∴ m时，rmax,

7774∴ 0720∴ x4

7201∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)（x4）

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