3.1.2 认识三角形
〖教学目标〗
1．掌握三角形三边关系并会应用。
2．鼓励每一位学生积极思考、大胆发言、合作交流、勇于创新。 〖教材分析〗
教材由“房梁上的彩灯电线哪根长〞，引入了三角形三边的关系。为激发学生的求知欲，并为后面三边关系的应用作铺垫，用“小棒搭三角形〞作为“引子〞，引导学生深入思考三角形三边的关系，并应用它解决实际问题。 〖学校及学生状况分析〗
本课时教学，针对的是大城市的七年级学生，他们在生活中随处可见三角形，对于三角形的美学价值、实用价值都有一定的了解，但是对于三角形的三边关系、计数问题等知识较为陌生，甚至还存在着错误的认识，因此要根据他们的理解来设计教学。 〖教学设计〗
三角形存在着“任意两边之和大于第三边〞“任意两边之差小于第三边〞的关系，但多数学生不曾注意到。教学中采用三根小棒搭三角形的操作活动，让学生经历“猜想―验证―探索―证明〞的数学思维过程，使课堂教学充满创新活力。 (一)创设情境，引入新课
用小棒摆三角形引入三角形三边关系
师：老师给同学们准备了一些小棍，同学们猜想一下，我们用任意三根小棍一定能搭成三角形吗?
生：一定(少数人认为不一定)。
师：请一位同学来把这些小棍摆一摆，看是否能组成三角形。 学生到实物投影仪下操作。 第一组小棍搭成三角形； 第二组小棍搭成如以以下图形：
图1
第三组小棍搭成如以以下图形：
图2 师：我们再回到刚刚的问题，任意三根小棍一定能搭成三角形吗? 生：不一定。
师：为什么任意三根小棍不一定能搭成三角形呢?我们来探索这个问题。 (二)小组活动，发现三边关系
师：我们来做一个小组活动，请同学们看课本66页“议一议〞。 议一议：
1．元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯(课本图3-13)，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢?说明你的理由。
2．在一个三角形中，任意两边的和与第三边的长度有怎样的关系?为什么? 小组活动，教师指导。活动结束，总结交流。 生1：我们认为装有黄色彩灯的电线长。
师：哪位同学来说说你们是采用什么方法得到这个结论的？ 生2：我们用尺子量的。 生3：我们用数灯泡个数的方法。
生4：老师，我认为数灯泡的个数不行，因为有的地方连着两个灯泡。 生5：我们把两个当一个。
师：(对生4)你认为这样数灯泡的个数可以吗? 生4：可以。
生5：因为“两点之间直线距离最短〞，所以装有红色彩灯的电线比装有黄色彩灯的电线短。
师：是“两点之间直线距离最短〞吗? 生：不是。
师：哪位同学来对××同学的说法做修正? 生6：应是“两点之间线段最短〞。
师：很好。
师：谁来说说，在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?
生7：三角形任意两边的和大于第三边。 师：哪位同学来说一下为什么?
生8：可以把房梁抽象成三角形，一条电线过三角形两个顶点，…… 师：(提示)改变彩灯悬挂的位置，用前面所说的方法就可得到结论。 师：现在同学们能解释为什么有的小棒搭不成三角形了吗? 生9：因为有的小棒两根(长度)之和小于或等于第三根小棒(长度)。 教师用实物投影仪比较不能搭成三角形的小棒长度，证实学生答复正确。 师：哪位同学来解释结论中的任意二字。 生10：无论哪两边。 师：同学们认同吗? 生：认同。
(三)个人活动，发现三角形三边关系 师：请同学们看课本66页做一做。 做一做：
分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内。
图7
(1)a= (2)a= (3)a= b= b= b= c= c= c=
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论? 个人活动结束，总结交流。 师：哪位同学说一下你得到的结论? 生11：三角形两边之和大于第三边。
师：还是两边之和吗?
生12：我得到的是任意两边之差小于第三边。 师：同学们得到这样的结论了吗? 生：得到了。
师：在刚刚的活动中，我们又得到三角形三边的另一关系：三角形任意两边之差小于第三边。这里的“任意〞与前面相同，但求差时，应该用较长线段长度减去较短线段长度(保证差为非负数)。 (八)三边关系的应用
师：我们来做一个练习。
练习：4，5，8是三根小棒的长度，用它们能摆成一个三角形吗?请说明理由。
学生小组活动。活动结束，总结交流。
生13：因为4+5>8，所以这三根小棒能摆成三角形。
师：三角形的三边关系是：任意两边之和大于第三边。为什么你们只验证一种情况就得出结论呢?
生14：我们验证三种情况之后发现：4，5最小，它们的和已大于8，如果把4+5>8中的5，8(4，8)交换，和会更大，式子仍然 成立，所以只须做一次验证(用最小两边的和与最大边比较)。 师：同学们认为他们的做法正确吗? 生：正确。
师：很好，你们的创新精神值得大家学习。 师：同学们还有其他判断方法吗?
生15：我们用减法判断，因为8-5<4，所以这三根小棒能摆成三角形。 师：只做一次判断吗? 生15：是。 师：为什么?
生15：因为，最大边-中边<小边，可以移项为最大边<中边+小边(与生23的方法相同)，所以能组成三角形(不等式移项还未学习，不必深入引导)。 师：可用大边与小边的差与中边比较(一次)做判断吗?
生15：可以。
师：可用中边与小边之差与大边比较(一次)做判断吗? 生15：可以。
生16：老师，我认为不能。 师：为什么?
生16：因为中边、小边都比大边小，它们的差一定小于大边(对于不能搭成三角形的小棍也成立)，所以不能用中边与小边之差做判断。 师：同学们认为××同学的补充对吗? 生：对。
师：在刚刚的活动中同学们应用三角形三边关系总结出了判断三根小棍能否组成三角形的简便方法，很好。 (九)小结本节课所学内容 师：本课时我们学习了 1．三角形三边之间的关系。
用它们解决了相关问题，并且同学们在学习中积极思考交流合作，表现很好。 〖教学反思〗
从本课时教学实际看，教学设计面向全体学生，在整个教学过程中，以学生为本，让他们敞开思想反映出学习过程中的疑惑，有利于教师根据学生实际，进行有效的教学。
反思本课时教学，有几个环节，处理得较好： 从实际出发，关注学生的体验。
生活中存在着大量的数学问题，但人们并不太在意，尤其是初中学生。本课时设计的三根小棒摆三角形的活动，从一个很简单的实际问题入手，引导学生进行新的知识学习。学生的猜想表达了他们真实的认知水平，由此引入的新的学习，激发了他们的求知欲，从多个角度多种方法得出三角形两边之和大于第三边的结论，从而为判断三线段能否构成三角形的问题奠定了根底。
本课时较好地完成了教学目标，但也有一些缺乏：探究学习中，由于学生的诸多不确定因素，造成教学时间较紧，对于三边关系的应用还有一些欠缺，对于个
别学生的一些方法，如不等式的移项(还未学到)没能在课堂上展开讨论，有些遗憾。在今后的教学中还应弥补这一类缺憾。
1.8 完全平方公式(一)
●教学目标 (一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法 自主探索法
学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.
●教具准备
投影片四张
第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.8.1 B) 第三张：例题，记作(§1.8.1 C)
第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D) ●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径) ［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.
图1－25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式. Ⅱ.讲授新课 1.推导完全平方公式
［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？
(出示投影片§1.8.1 A) 想一想：
(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？ (2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
［生］用多项式乘法法那么可得 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
(1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.
［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.
［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2
↓
↓
↓
↓ ↓ ↓
(a +b)2=a2+2·a ·b + b2
=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式： (a－b)2=a2－2ab+b2
(2)
［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华 出示投影片(§1.8.1 B)
［例1］利用完全平方公式计算： (1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2; (3)(mn－a)2.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.
解：(1)方法一：
［例2］利用完全平方公式计算 (1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2; (3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2; (5)(2x－3y)2(2x+3y)2.
分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.
解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2 =4y2－4xy+x2；
方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2. (2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2. (3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2 =x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz. (4)方法一：(x+y)2－(x－y)2 =(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2) =4xy.
方法二：(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy. (5)(2x－3y)2(2x+3y)2 =［(2x－3y)(2x+3y)］2 =［4x2－9y2］2 =16x4－72x2y2+81y4. Ⅲ.随堂练习 课本1.计算：
(1)(1x－2y)2;(2)(2xy+1x)2;
25(3)(n+1)2－n2.
1解：(1)(1x－2y)2=(1x)2－2·x·2y+(2y)2=1x2－2xy+4y2
22241(2)(2xy+1x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(1x)2=4x2y2+4x2y+
5555125x2
(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1. Ⅳ.课后作业
1.课本习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题. Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？
［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.
令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+ 20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.
因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.
但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16
和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).
［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元. ●板书设计
1.8. 完全平方公式(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式： ①a2+2ab+b2 ②(a+b)2
比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2 二、代数推导 (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+2ab+b2
(a－b)2=［a+(－b)］2 =a2－2ab+b2 三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算： (1)(2x－3)2 (2)(4x+5y)2 (3)(mn－a)2 四、随堂练习(略) ●备课资料 一、杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.
他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他在?续古摘奇算法?中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法，同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中，将?九章算术?246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.
他非常重视数学教育的普及和开展，在?算法通变本末?中，杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.
二、参考练习 1.填空题
(1)(－3x+4y)2= . (2)(－2a－b)2= . (3)x2－4xy+ =(x－2y)2. (4)a2+b2=(a+b)2+ . (5)1a2+ +9b2=(1a+3b)2.
42(6)(a－2b)2+(a+2b)2= . 2.选择题
(1)以下计算正确的选项是( ) A.(m－1)2=m2－1 B.(x+1)(x+1)=x2+x+1 C.(1x－y)2=1x2－xy－y2
24D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4
(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是( ) A.4
B.－4
C.±4
D.±8
(3)将正方形的边长由a cm增加6 cm,那么正方形的面积增加了( ) A.36 cm2
B.12a cm2
C.(36+12a)cm2 3.用乘法公式计算 (1)(1x－1y)2
2 D.以上都不对
3(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2 (3)29×31×(302+1) (4)9992
答案：1.(1)9x2－24xy+16y2 (2)4a2+4ab+b2 (3)4y2 (4)－2ab (5)3ab (6)2a2+8b2 2.(1)D (2)C (3)C
3.(1)1x2－1xy+1y2 (2)－8x2y2
439(3)809999 (4)998001
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