放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式

放缩法是不等式证明中一种常用的方法，但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。常用的放缩技巧还有：

ab（1）若（2）

（3）若则（4）

（5）

（6）

或

（7）

等.例1 （海南理11）若求证：

证明：因为

所以

因为

［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以

，所以

练习1. 求证： 2. 求证：

例2 （贵州省理21）若

求证：

证明：因为

而所以所以

同理可证（当且仅当时，取等号）。

练习3. 已知求证：

练习4.已知 ,求证：

分析 由转化成

可想到二项式系数的和为

，由

可想到二项式定理，利用放缩法把

构造出二项式定理公式，从而得出结论。

例3 证明

分析 左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。

注：放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。

证明

总之，如何确定放缩的尺度，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。但是，只要抓住了欲证命题的特点，勤于观察和思考，许多问题都能迎刃而解。

练习5. 求证：

分析 左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是

，因此所放缩后的因式应与

有关。

练习6. 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：

练习7.求证：

练习8. 求证：

练习9. 求证

练习10.已知a,bR，求证：

|ab||a||b|1|ab|1|a|1|b|

1.证明：因为所以左边

因为99＜100（放大）＜所以

2.证明：

（因为）

［又因为（放大）］，所以

所以

3. 证明：因为

4. 证明 设

且

。对任意

，有

将上述各式叠加：

6.不妨设据三角形三边关系定理有：便得

所以原不等式成立。

7.因为

又

所以原不等式成立。

8.因为左边

证毕。

9.因为

所以左边

|ab||a||b|xf(x)1x （x>0）单增得1|ab|1|a||b|再放大 10.由