第２８卷第６期 惠州学院学报（自然科学版） Ｖｏ１．２８．Ｎｏ．６ ２００８年１２月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＩＺＨＯＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｄｅｃ．２ｏ０８ 非线性脉冲切换系统的指数稳定性 刘玉彬 ，冯伟贞 （１．惠』、Ｉ，Ｉ学院数学系，广东惠州５１６００７；２．华南师范大学数学科学学院，广东广州５１０６３１） 摘要：本文提出了一类由ｍ个子系统和ｉｔ１个脉冲控制函数构成的新脉冲切换系统，利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数法研 究了此脉冲切换系统指数稳定性，得到了系统零解指数稳定的若干结果，并通过例子验证了所得结果的有效性。 关键词：切换模式；脉冲控制；脉冲切换系统；指数稳定 中图分类号：０１７５．１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—５９３４（２００８）０６—０００５—０５ １ 引言 切换系统通常由一族连续子系统结合一定的切换律构成。其在诸如机械控制、航天航空交通控制等领域都有 着广泛的应用。近年来，切换系统已引起了越来越多学者的关注和研究。而所得结果主要集中在稳定性及切换律 的设计上 。 。其中，文献 ｊ给出了研究切换系统稳定性及切换律设计的三个有趣问题，并归纳了有关切换系统 的稳定性及切换律设计的若干研究方法和结果。 状态的瞬间跳跃现象在自然界中是大量存在的。带有脉冲的系统能更精确地描述这种具有状态的瞬间跳跃 的客观规律。目前有关带脉冲的切换系统的稳定性结果还比较少 ｊ。文献 提出了切换系统切换模式的概念， 并建立了判定线性时变脉冲切换系统的指数稳定的充分条件，指出切换模式和脉冲模式对脉冲切换系统的稳定 性有着重要的影响。本文提出了一类由个子系统和个脉冲控制函数构成的新非线性脉冲切换系统，利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数法研究了此类脉冲切换系统的指数稳定性，得到了系统零解指数稳定的若干充分判据，并通过例子验证了所 得结果的有效性。 ２ 预备知识 本文中，Ｒ、Ｒ 、Ｎ、Ｎ 分别表示实数集、正实数集、自然数集和正整数集；尺 为赋予了欧基里德模（１ｌ・ ）的ｎ 维空间。 对任意的。，ｂｅＲ（０＜ｂ ＋ ），记Ｐｃ（［ｎ，ｂ））：｛ ［０，ｂ）— 尺 Ｉ （ｔ ）＝ （ｔ），￡Ｅ［０，ｂ）；对ｔｅ（。，６］， （ｔ一）存在，且在（ｎ，ｂ）中除至多有限个点外有 （ｔ一）＝ （ｔ）｝。 定义ｌ 对某个ｍ∈Ⅳ ，称Ｓ：｛（ｒ ，ｉ ）ｌ ｋｅｎ ，７＂ｋｅＲ ，ｉ¨Ｅ｛１，２，…，ｍ｝｝ （２．１） 为切换模式，｛ｉ ｝为切换序列，｛ ｝为切换时间间隔序列。 对任意的￡。２ ｏ，记￡ ＝￡。＋ Ｔｉ为切换时刻并假设 ＝＋。。。对函数 Ｐｃ（［￡。，＋。。）），记 （￡） ｉｍ． ！ ±垒）二 （ ） ｈ 。 定义２ 称 ｛（ ，Ｊ （ｆ， ））Ｊ ｔ ＝ ＋∑７． ， Ｒ × 一尺“，ｋｅＮ ｝ （２．２） 为脉冲控制模式，而｛ ｝为脉冲控制序列，ｔ 为脉冲时刻（同时也是切换时刻）。 收稿日期：２００８—０５—１６ 基金项目：广东省自然科学基金资助项目（Ｏ１１４７１）；广东高校自然科学研究项目（０１２０）；广东惠州学院自然科学基金（Ｃ２０７・０２０２） 作者简介：刘玉彬（１９８１一），男，广东河源人，助教，硕士，研究方向为脉冲、切换系统稳定性。 ・６－ 惠州学院学报（自然科学版） ２００８年第２８卷 在脉冲控制模式（２．２）中，若令， （ｔ， ）＝ｇ （ｔ， ）（ｉｋｅ｛１，２，…｝），则得到如下脉冲控制模式： ‘ ｛（ ｇ（ ， ））Ｊ ｔ ＝ｔｏ＋∑７＿ ｇ？Ｒ ×Ｒ 一Ｒ”，ｉｋＥ｝１，２，…，ｍ｝｝ 本文主要考虑在切换模式（２．１）和脉冲控制模式（２．３）下由ｍ个非线性系统： ＝ （２．３） （２．４） （ｔ， ），ｉ：１，２，…，ｒ凡 构成的脉冲切换系统： ｒ ＝ （ｔ， ），ｔＥ［ｔ ，ｔ ） ｛ （￡ ）＝ｇ （ｔ ， ）， ｋＥＮ （２．５） Ｌ （ｔ０）＝ 其中 （ｔ， ）为定义在Ｒ ×Ｒ 上的函数，并称 ＝ （ｔ， ）为系统（２．５）的第ｉ个子系统。 假设对ｔＥ［ｔ。，ｔ ）， 。（ｔ）是系统 ｆ ＝ 。（ ， ），据［ｔ０，ｔ。）， ｔｘ（ｔ０）＝ ０ 的解，而对ｔＥ［ｔ ，ｔ ），ｋｅＮ ， （ｔ）是系统 ＝ 。（ ， ），ｔＥ［ｔ ，ｔ ）， Ｉｘ（ｔ ）：ｇ ．（ｔｌ， （ｔｉ）） ， ０（ｔ），ｔＥ［ｔｏ，ｔ１）； Ｉ … 的解 ｛ｌ【 Ｘｋ （ ｔ ｔＪ， ∈【 ｋ…， ｔｋ）＋Ｉ）； … 为系统（２．５）的解。 关于系统（２．５）解的存在唯一性可参考文献 。本文总假设脉冲切换系统（２．５）的解是存在且唯一的。 定义３ 对任意的ｔ。 ０及函数 Ｒ ×Ｒ 一Ｒ ，若 （１） 在［ｔ¨，ｔ ）× 上连续且对任意的 ，ｙＥＲ ，ｔＥ［ｔ ，ｔ ）， ∈Ⅳ ，极限ｌｉｍ Ｖ（ｔ，Ｙ）＝Ｖ（ｔｌ， ）存在； Ｉ‘．ｒ ＿．１ ｚ－． ， （２） 对所有的ｘｅＲ 满足局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，且对任意的ｔ ｔ。，Ｖ（ｔ，０）＝０，则称 是属于函数类 的，记 。 对于函数 ，定义其沿系统（２．５）第ｉ个子系统的解的右上导数为 、 ｉ）（￡， ）＝ ｉ＾ ｎ ÷［ （￡＋ｈ， ＋ （ｆ， ））一 （ｆ， ）］。 定义４ 对脉冲切换系统（２．５）的解 （ｔ）， （１）若存在 ＞０，及对任意的 ＞０，存在 （ｓ）＞０，使得只要ＩＩ 。ｌ】＜占，有 ｌ Ｉ（ｔ）ＩＩ ｓ Ｉｌ ｌ１ ｅ “ ，ｔ ｔ。， 则称脉冲切换系统（２．５）的零解是指数稳定的； （２）若存在 ＞０和ｔ。＞０，使得对任意的 ＞０，都存在 。 ｌｌ ｌｌ＜ 和ｔ ＞ ｃ。，有 ＩＩ （ｔ ，ｔｏ， ０）『Ｉ＞ｓ０， 则称脉冲切换系统（２．５）的零解是不稳定的。 ３ 主要结果 首先我们给出一个例子说明对切换系统，即使它的每个子系统都指数稳定，但在某些切换模式下其解也可能 不稳定。 例ｌ 考虑由系统 （￡）＝（ＣＯＳｔ一 ） ， （￡）＝一－ １ 及切换模式 斗７ｒ 斗７ｒ 第６期 刘玉彬等：非线性脉冲切换系统的指数稳定性 ・７・ ｓ ＝｛（等，１）’（ ，２）’（号，１）１（孚，２ 一，（詈，１），（孚＇２），…｝ 构成的切换系统 』 （ ＝（ｃ。ｓ￡一￣１ ｔ－）ｘ，ｅ［２ｋｒｒ，２ｋｒｒ＋号 Ⅳ， （３．１） ｆ）一４ｉ丌ｘ，陡［２ｋ仃＋号，２（ｋ＋１）仃） ｅ 其中￡。＝０， （｝０）＝ 易得切换系统（３．１）的两个子系统 （ｆ）：ＣＯＳｔ－－ ） ， （ｚ）＝一 １ 的解分别为 （ｆ） ＝ 。ｅ … ・ｅ一古‘ ¨，， （￡）＝ 。ｅ矗‘ Ⅲ，显然都是指数稳定的。而切换系统（３．１）的解为 ，ｅ ÷ｅ ÷ｅ ， 当拒［２ｋｃｒ，２ ７ｒ＋ ）时， Ｉ （￡）Ｉ＝Ｉ ０ Ｉ・（ｅ÷） ・ｅ “・ｅ～古‘ －２ 丌 ｌ ｏ Ｉ・（ｅ÷） ・（ｅ一÷叶＋∞（ 丌 ＋∞）； 当ｔＥ［２ｋｒｒ＋ ７／，２（ ＋１）７ｒ）时， Ｉ （￡）Ｉ＝ｌ 。１．（ｅ÷） ．ｅ÷．ｅ一古‘ 一 丌一十 Ｉ 。１．（ｅ÷） ＋。一＋∞（ 一＋∞）２ 故切换系统（３．１）的解不稳定。 吁 ， 下面给出脉冲切换系统（２．５）的解指数稳定的结果，在脉冲切换系统解的指数稳定中，脉冲与切换两种控制 因素起着重要作用。 艇 定理１ 对系统（２．５），若存在常数ａ，，ｂ ，Ｂｊ＞０，０＜ｃ＜ｂ＝ｒａｉｎ ｉ＝ｌ，２，…ｍ｝及函数 Ｅ 。，使得对任 意的ｔ ２ ０，ｋｅＮ ，ｉ＝１，２，…，ｍ，有 （１） ｌ ｌＩＩ≤Ｖｉ（ｔ， ）≤ａ ｌＩ ＩＩ，ｔ≥ｔ０； （２） Ｄ ）（ｔ， ）≤ｂ ， （ｔ， ），ｔＥ［ｔ 一１，ｔ ）； （３） ＩＩ ｇ （ｔ， ）ｌｌ≤ ＩＪ ｆ Ｊ，ｔ≥ｔ。； ｋ （４） 数列｛（兀ａｉ，Ｂ ）ｅ－（ｂ－￣） 。｝有界； 则脉冲切换系统（２．５）的零解指数稳定。 证明：对任意ｔ。≥０，记 （ｔ）＝ （ｔ，ｔ。，％）为脉冲切换系统（２．５）的任意解。由条件（４）知，存在Ｍ＞０，使得对所 有ｋｅＮ ，有 ｋ ‘ （１－Ｉ ｏ Ｂｉ，）ｅ－（ｂ－ｃ）； Ｍ， 又当ｔＥ［ｔ¨，ｔ ），ｋｅＮ 时，由条件（２）得 （ｔ，ｚ（￡）） （ｔ ， （ｔ ））ｅ “ ’。 （３．２） （３．３） 由条件（１）、（３）及式（３．３）有，当ｔＥ［ｔ。，ｔ ）时， Ｉ ｌＩｌ≤ ０（ ， （￡））≤Ｖｉ （ｔ０， （ｔ０））ｅ Ｊ・ 卜ｕ≤ａ ｌｌ 。ｌ ｌｅ 卜ｕ； 当ｔＥ［ｔ ， ），后≥２时， （３．４） （３．５） （３．６） （３．７） ！Ｊ ｌ Ｊ特别地有， （￡， （￡））ｓ Ｖｉ （ 一 ， （￡ ））ｅ ｌ＿“ ｓ ０ Ｂ。 Ｉ｝ （ １）Ｊｆ ｅ “ 。 Ｉ１ （ ）ｌ ｓ。 ｌｌ 。ｌＩ ｌｅＩ占 及 ＪＩ （￡ ）ＪＩ ｓ。 Ｊ｝ （ －。） －ｂｒ ，后 ２ ・８・ 惠州学院学报（自然科学版） ２００８年第２８卷 ｌ≤ａｉｋ１Ｂ ．１ １ ｘ（ｔＬ，）ｌ Ｉｅ 。ｌ＿ ｌ≤… ０ （ｎ ｎ Ｂ。）ＩＩ ｌ ｅ “ 。 ｓ。 ｌＩ（ｎａｉ Ｂ ）ｅ－（ｂ－ｃ） ｅ “ ＿，． ｎ‘Ｍ Ｉ 。 “ “’。 的ｔ ｔ。，Ｄ０ （ｔ， ）≤ｂｌ （￡， ）且ａｉＢ ｓ １，则脉冲切换系统（２．５）的零解是指数稳定的。 推论４ 若定理１的条件（１）及（２）成立，且对任意ｆ ￡。，ｇｉ（ ， ）＝ ，及数列｛（兀ａｉｉ）ｅ－（ｂ－￣） ｝有界，则脉 （４） 数列｛（兀 ）ｅ－（ｂ－ｃ） ｝有界； 得对所有ｋｅＮ ，有 （Ｈ ）ｅ－（ｂ－ｃ） ≤Ｍ。 当ｔＥ［ｔ ，ｔｋ），ｋ ２时， （ｆ， （ｆ））≤ｖ（ｔ —ｌ，戈（ｔ ）ｅ ‘ ± ≤Ｂ （ｆ １，ｘ（ｔＺ１）ｅ ‘ … （Ｈ Ｂ ）ｌ，（ｔ。， 。ｅ 。 Ｉ『 ｖ（ｔ， （￡）） （ｎ ）ｖ（ｔ。， ）ｅ “ Ｉ１’ ａ（兀 ）ｌ ｌ。ｌ ｌｅ～“ ｎ（ｎ ）ＩＩ 。 ； ｅ “ ａＭ “ ｃ ，＝ ｃ ， ＝［二窆： ； ］， ｃ ＝ ｃ ， ： ＝［二 １ 二 ｔ ７。 ］， 第６期 刘玉彬等：非线性脉冲切换系统的指数稳定性 ・９・ 切换模式 ｛（２，１），（２，２），（２，１），（２，２），…，（２，１），（２，２），…｝ 以及脉冲控制模式 ｛（ｔ，，ｇ，），（ｔ：，ｇ ），（ｔ ，ｇ，），（ｔ ，ｇ２），…，（ｔ２ ，ｇ ），（ｔ ，ｇ：），… 构成的脉冲切换系统 ｒ （ ）＝ （ ， ）， ∈［ ＋２（ 一１），ｔｏ＋２ ） ｊ （￡）＝ （ ， ），￡∈［ ＋２ｋ，ｔｏ＋２（ ＋ ）） ＥⅣ＋。 ｆ （ｆ ）＝ｇ （ｔｉ， ）， Ｘ（ｔ０）＝ （３．９） 其中ｇ－ ， ： （ ），ｇｚ ｃ ， ，＝手（ ），ｔ ＝ｃ。＋２ｋ，ｋＥＮ＋ｏ 取ＶＩ（￡， ， ：）＝√２ ＋ ；， （ｔ， ， ：）： 及 ＋４ｘ ，贝０ Ｖｌ， Ｅ 。且 （ｚ， 。， ）＝２ ， ≤Ｖｌ（ｆ， ， ）： ・￣／ ＿ ，ｖ／ ＿ Ｄ ） ｔ，ｘｌ，ｘ２）≤一 ｉ ｔｘ，，ｘ２）， ，Ｄ ） （ ， ｔ，Ｘ２）≤一寺 （１ ￡， －，Ｘ２）。 （ｂ－ｃ）ｒ￣ ２・ ｅ・ｅ一 （＋一ｃ） １ 因此，ｎ：２，６＝÷， ｅ ４。从而对所有的ｃ ｓ吉，。Ｂ ｅ 由推论２知，脉冲切换系统（３．９）的零解指数稳定。 参考文献： ［１］ＢＲＡＮＩＣＫＹ Ｍ Ｓ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｗｉｔｃｈｅｄ ａｎｄ ｈｙｂ６ｄ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｃ］∥ＩＥＥＥ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ３３ｒｄ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎ－ ｔｒｏ］Ｌａｋｅ Ｂｕｅｎａ Ｖｉｓｔａ，ＦＬ—Ｄｅｃｅｍｂｅｒ １９９４，３４９８—３５０３． ［２］ＤＡＮＩＤ Ｌ，ＳＴＥＰＨＥＮ Ｍ Ａ．Ｂａｓｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｓｗｉｔｃｈｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９９９：５９－７０． ｆ３］ＨＵ Ｂｏ，ＸＵ Ｘｕｐｉｎｇ，ＡＮＴＨＯＮＹ Ｎ．Ｍｉｃｈｅｌ ａｎｄ Ｐａｎｏｓ Ｊ．Ａｎｔｓａｋｌｉｓ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｗｉｔｃｈｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ｃ］／／ＩＥＥＥ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ３８ｔｈ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｐｈｏｅｎｉｘ，Ａｒｉｚａｏｎａ ＵＳＡ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ，１９９９：４３７４— ４３７９． ［４］冯伟贞．线性时变脉冲切换系统的稳定性［Ｊ］．华南师范大学学报，２００６，３（３）：ｌ２—１８． ［５］ＬＡＫＳＨＭＩＫＡＮＴＨＡＭ Ｖ，ＬＩＵ Ｘｉｎｚｈｉ．Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｈｙｂｒｉｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， １９９８（７）：１—１０． ［６］ＬＩＵ Ｂｉｎ，ＬＩＵ Ｘｉｎｚｈｉ，ＬＩＡＯ Ｘｉａｏｘｉｎ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ｑｕａｓｉ—ｌｉｎｅａｒ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｈｙｂｒｉｄ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙ— ｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００３（２８３）：４１６—４３０． 【责任编辑：吴跃新】 Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｓｗｉｔｃｈｅｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ ＬＩＵ Ｙｕ—ｂｉｎ ，ＦＥＮＧ Ｗｅｉ—ｚｈｅｎ （』．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕ＆ｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕ＆ｈｏｕ ５１６００７，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，５１０６３１，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｄｅｖｏｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｎｅｗ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｓｗｉｔｃｈｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｍ ｓｕｂ—ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｍ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｓｅｖｅｒａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ｓｅｖｅｒａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｍｏｄｅ；ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｓｗｉｔｃｈｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ；ｅｘｐｏｎｅｎｔｉｌ ｓｔａｂｉａｌｉｔｙ