《三元一次方程组》例题与讲解

《三元一次方程组》例题与讲解

基础篇

1.三元一次方程及三元一次方程组

(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.

(2)三元一次方程组：

①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如：

x＋y＝1，x＋3y＋2z＝2，y＋z＝3，3x＋2y－4z＝3，x－2z＝5，2x－y＝7

②拓展理解：

等都是三元一次方程组.

a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；

b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.

【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( ).



A.y＋z＝0，xz＝2

x2－y＝1，

1

B.y＋z＝2，

1z＋x＝6

1

x＋y＝1，

a＋b＋c＋d＝1，C.a－c＝2，b－d＝3

m＋n＝18，D.n＋t＝12，t＋m＝0

解析：A，B选项中有的方程不是三元一次方程，C中含有四个未知数，只有D符合三元一次概念内涵，故选D.

答案：D

2.三元一次方程组的解

(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解.

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和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解.

(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.它也是三个数.

(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解.

释疑点 检验三元一次方程组的解

三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解.

x＝2，【例2】 判断y＝－3，

z＝－3x＝2，

解析：把y＝－3，

z＝－3

答案：是

x＋y－2z＝5，

是不是方程组2x－y＋z＝4，

2x＋y－3z＝10

的解.

答：__________(填是或不是).

代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右

两边都相等，所以是方程组的解.

3.三元一次方程组的解法

(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.

(2)步骤：

①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；

②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；

④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；

⑤写出三元一次方程组的解. (3)注意点：

①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；

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②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确.

x＋3y＋2z＝2，【例3】 解方程组3x＋2y－4z＝3，

2x－y＝7.

①②③

分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解.

解：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④ 解③，④组成的方程组 2x－y＝7， 5x＋8y＝7.

x＝3，

解这个方程组，得

y＝－1.把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，

x＝3，

所以原方程组的解为y＝－1，

z＝1.

(1)方法步骤：

4.运用三元一次方程组解实际问题

①审题：弄清题意及题目中的数量关系； ②设：设三个未知数；

③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；

④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际； ⑤答：回答说明实际问题的答案. 析规律 列三元一次方程组

同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组.

【例4】 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之

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和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数.

解：设百位数字为a、十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为100a＋10b＋c，由题意，得

a＋c＝b＋1，

27a＋b＋c＝100a＋10b＋c，100a＋10b＋c＋99＝100c＋10b＋a.a－b＋c＝1，

化简，得－73a＋17b＋26c＝0，

a－c＝－1.a＝2，

解这个方程组，得b＝4，

c＝3.

答：原来的三位数是243.

能力篇

5.三元一次方程组的解法技巧

解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考.

(1)先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程.如：

3x－y＋2z＝3，2x＋y－3z＝11，x＋y＋z＝12

中，y的系数较简单，先消y简单.

(2)先消某个方程中缺少的未知数.若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解.如：

4x－9z＝17， ①3x＋y＋15z＝18， ②x＋2y＋3z＝2. ③

因为方程①中缺少y，所以由②，③组合先消去y比较简单. (3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数，如：

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2x＋4y＋3z＝9，3x－2y＋5z＝11，5x－6y＋7z＝13，

三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单. (4)整体代入消元，如：

x＋y＋z＝26， ①x－y＝1， ②2x＋z－y＝18. ③

体代入便可消元求解.

将方程③左边变形为(x＋y＋z)＋(x－y)－y＝18，作整

(5)整体加减消元：如：

3x＋2y＋z＝13， ①

x＋y＋2z＝7， ②2x＋3y－z＝12， ③

在三个方程中，根据未知数x，z的系数特点，可用②＋③－①整体加减消元法来解得y的值.再逐步求解.

3x＋4z＝7，①

【例5－1】 解方程组2x＋3y＋z＝9， ②

5x－9y＋7z＝8. ③

解.

解：②×3＋③，得11x＋10z＝35，④

分析：因为方程①中缺少未知数y项，故而可由②，③组合先消去y，再求

3x＋4z＝7，x＝5，解由①，④组成的方程组解得⑤

11x＋10z＝35.z＝－2.1

把⑤代入②，得y＝，

3x＝5，1

所以原方程组的解为y＝3，

z＝－2.

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5x－15y＋4z＝38，①

【例5－2】 解方程组x－3y＋2z＝10， ②

7x－9y＋14z＝58. ③

分析：经观察发现①中的5x－15y＝5(x－3y)，这就与②有了联系，因此，①可化为5(x－3y＋2z)－6z＝38，把②整体代入该方程中，可求出z的值，从而易得x与y的值.

解：由①，得5(x－3y＋2z)－6z＝38，④ 把②整体代入④，得5×10－6z＝38. 解这个方程，得z＝2， 把z＝2分别代入①，②中，得 5x－15y＝30，⑤ 7x－9y＝30.x＝3，

解⑤，得

y＝－1.

x＝3，

所以原方程组的解是y＝－1，

z＝2.

x＋y－z＝11，

【例5－3】 解方程组y＋z－x＝5， ②

z＋x－y＝1. ③

故可采用整体相加的方法.

解：①＋②＋③，得x＋y＋z＝17，④

①

分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，

再由④分别减去①，②，③各式，分别得z＝3，x＝6，y＝8.

x＝6，所以原方程组的解是y＝8，

z＝3.

6.三元一次方程组的应用归类

三元一次方程组的应用和二元一次方程组的应用类似，也主要包括两类： (1)构造方程组，通过解方程组解决问题.主要有以下几种情况.

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①根据某些数学概念构造方程组，如：2x4my16－5n与x3n＋6y2m是同类项，根据同类项定义列方程求未知数m，n.

②运用非负数的性质构造方程组.如：

如果(x＋y－2)2＋|y＋z－4|＋|x－y＋2|＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.根据题意列出三元一次方程组求解.

③已知方程的解的情况求未知系数.如：

x＋2y＝3m，

关于x，y的二元一次方程组的解，也是方程3x＋2y＝17的

x－y＝9m解，则m的值是？

根据题意构造一个以x，y，m为未知数的三元一次方程组求解. 点评：这类问题的实质是变相的解方程组问题.

(2)列方程解应用题，根据实际生活中的情景，列方程组解决实际问题. 3x＋5y＝m＋2，

【例6－1】 如果方程组中，x与y的和为2，则m的值

2x＋3y＝m是( ).

A.16 B.4 C.2 D.8

3x＋5y＝m＋2，

解析：方法一：因为x与y的和为2，即x＋y＝2，所以与

2x＋3y＝m，

3x＋5y＝m＋2，

组成一个三元一次方程组2x＋3y＝m，

x＋y＝2.

解这个方程组，求出m＝4.

3x＋5y＝m＋2，

方法二：也可以先解求出x，y的值(含m)，再把解得的

2x＋3y＝m.x，y的值代入x＋y＝2中，求出m.

3x＋5y＝m＋2，

方法三：把x＝2－y代入解含y，m的二元一次方程组.

2x＋3y＝m，答案：B

【例6－2】 如果|x－2y＋1|＋|z＋y－5|＋(x－z－3)2＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.

解析：根据非负数的和为0，各式都为0，列出三元一次方程组

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x－2y＋1＝0，z＋y－5＝0，x－z－3＝0.

x－2y＝－1，

化简，得z＋y＝5，

x－z＝3.

答案：5 3 2

解这个方程组，得x＝5，y＝3，z＝2.

拓展篇

7.运用三元一次方程组求代数式的值

解三元一次方程组是对消元思想和方法的综合的、全面的运用，另一方面是将来学习二次函数的必备知识，在本章中，经常出现一类求代数式值的问题，如：已知代数式ax2＋bx＋c，当x分别取1,0,2时，式子的值分别是0，－3，－5，求当x＝5时，代数式ax2＋bx＋c的值.

解法：分别将x＝1,0,2代入代数式ax2＋bx＋c中，得到一个三元一次方程

a＋b＋c＝0，组c＝－3，

4a＋2b＋c＝－5.

解这个三元一次方程组，求出系数a，b，c的值，再将x＝5回代，再求出当x＝5时，式子ax2＋bx＋c的值.

【例7－1】 已知x＋2y＋3z＝54,3x＋2y＋2z＝47，2x＋y＋z＝31，那么代数式x＋y＋z的值是( ).

A.17 B.22 C.32 D.132

x＋2y＋3z＝54，

解析：将三个三元一次方程组成方程组，3x＋2y＋2z＝47，

2x＋y＋z＝31.

确，故选B.

答案：B

整体求法，

将三个式子相加，得6x＋6y＋6z＝132，两边都除以6，解，得x＋y＋z＝22.B正

【例7－2】 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x分别取1,2,3时，y的值分别为3，－1,15.则a＝__________，b＝______，c＝______；当x取4时，y的值为______.

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解析：把x＝1,2,3分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得三元一次方程组

a＋b＋c＝3，4a＋2b＋c＝－1，9a＋3b＋c＝15.

a＝10，

解这个三元一次方程组得b＝－34，

c＝27.

所以等式是y＝

10x2－34x＋27，把x＝4代入y＝10x2－34x＋27中，得y＝51.

答案：10 －34 27 51 8.含比例方程的方程组的解法

x∶y＝3∶2， ①

三元一次方程组中，有一类方程，含有比例式子，如y∶z＝5∶4， ②

x＋y＋z＝66. ③

这类方程组的解法有两种方式，一是把方程组根据比例的性质进行化简，化为一般的三元一次方程组，按常规思路进行解决；二是设参数法，如在上面的方程组中设每一份为k，则x＝3k，y＝2k，z＝1.6k，把它们分别代入③中，得3k＋2k＋1.6k＝66.即6.6k＝66，解得k＝10，所以x＝30，y＝20，z＝16.从而解出方程组.

xyz＝＝，【例8】 解方程组345

7x＋3y－5x＝16.

①②

分析：方法一：将①化简成两个方程和②组成三元一次方程组，解这个三元xyz

一次方程组；方法二：因是比例式，所以设3＝4＝5＝t，则x＝3t，y＝4t，z＝5t，代入②中即可求出t的值，解出方程组.

xyz

解：设3＝4＝5＝t，则x＝3t，y＝4t，z＝5t，将它们都代入方程②，得 7×3t＋3×4t－5×5t＝16，解得t＝2.

x＝6，所以x＝6，y＝8，z＝10. 所以原方程组的解是y＝8，

z＝10.

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