一、知识结构
我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限，或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.
1、 一元函数的反常积分
(1） 一元函数反常积分的概念和定义
我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间或有限闭区域，如果将积分区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点）或,由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点，即函数在点处无界)。
定义1 函数在无限区间连续，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛。
定义2 函数在非闭区间连续,而在点右邻域内无界（是被积函数的瑕点）即函数在点无界，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛.
函数在点右邻域内无界的意思是：。注意： 函数在点没有定义，但函数在点右极限可以存在,这时不是被积函数的瑕点.
例如，函数在点处没有定义,但,所以不是积分 的瑕点。 不是反常积分。 将积分看作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数在闭区间上仅有有限个第一类间断点， 则积分为推广的黎曼积分，它也是收敛的。
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定义3 函数在开区间内连续，都是函数的瑕点,则定义 ,如果极限和均存在,我们称反常积分收敛。
定义4 函数在无限区间连续,是函数的瑕点，则定义 ，如果极限和均存在，我们称反常积分收敛.
②积分区域无限且被积函数有瑕点(了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论。 例 讨论积分和的敛散性. 解 显然和均发散。
在区间上, 当时， 函数， 即前者的图像在后者的图像下方，这时收敛(请同学给出证明)。 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散（请同学给出证明）。
在区间上, 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明）。 当时， 函数, 即前者的图像在后者的图像下方，这时收敛（请同学给出证明）。 结论： 和
（1） 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质
（a）若与收敛, 则也收敛， 且.
（b）若在任何有限闭区间上可积，， 则与同敛态(同时收敛或同时发散),并且.
(c） 若在任何有限闭区间上可积, 且有收敛,则收敛，且. 当收敛时, 称绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛. ②无穷积分的收敛判别 （a) 柯西收敛准则
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对无穷积分的敛散性用以下准则可以作出判断。
定理1（柯西收敛准则) 无穷积分收敛的充要条件是： 对, ， ， 当时， 有。
无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到。 （b) 比较法则
定理2（比较法则) 设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,且满足，，则当收敛时必收敛； 当发散时必发散。
考虑当收敛时必收敛是否正确? 当发散时必发散是否正确?
推论1设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,， 且, 则有 ①当时， 与同敛态;
②当时, 由收敛可推知也收敛； ③当时, 由发散可推知也发散. 利用不等式，即可证上述结论.
推论2 设是定义在(）的函数,且在任何有限区间上可积,则有： ①当，，且时， 收敛； ②当,,且时, 发散. 利用结论 可证上述结论.
推论3设是定义在(）的函数,在任何有限区间上可积,且 , 则有: ①当时, 收敛; ②当时， 发散.
利用不等式,即可证上述结论. （c) 狄利克雷判别法
定理3(狄利克雷判别法） 若在上有界,在上当时单调趋于,则收敛（了解）。
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(d) 阿贝尔(Abel）判别法
定理4（阿贝尔(Abel）判别法) 若收敛，在上单调有界,则收敛(了解). （2） 瑕积分的性质与收敛判别 ① 瑕积分的性质
（a) 若与都以为瑕点，为常数，则当瑕积分与收敛时， 瑕积分必定收敛, 且.
（b） 设函数以为瑕点，为任一常数，则瑕积分与同敛态(同时收敛或同时发散)，并且，其中为定积分.
（c） 设函数以为瑕点， 若在的任一内闭区间上可积，则当收敛时，也必收敛，且.
当收敛时, 称绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛. ② 瑕积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则
对瑕积分的敛散性用以下准则可以作出判断。
定理1(柯西收敛准则) 瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是： 对, ， , 当时, 有.
瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到。 (b) 比较法则
定理2(比较法则） 设定义在上的两个函数和，瑕点同为，和都在任何有限区间上可积,且满足，，则当收敛时必收敛; 当发散时必发散.
考虑当收敛时必收敛是否正确？ 当发散时必发散是否正确? 推论1又若 ， 且, 则有 ①当时， 与同敛态;
②当时， 由收敛可推知也收敛; ③当时, 由发散可推知也发散.
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利用不等式，即可证上述结论。
推论2 设是定义在的函数,瑕点为， 且在任何有限区间上可积，则有： ①当，且时， 收敛； ②当,且时, 发散. 利用结论 可证上述结论.
推论3设是定义在的函数,瑕点为， 且在任何有限区间上可积,且， 则有：
①当时, 收敛； ②当时, 发散。 2、多元函数的反常积分
（1)积分区域无限且被积函数没有瑕点 ①函数在无限区域上的反常积分
定义5 函数在无限区域连续，则定义,如果极限存在， 我们称反常积分收敛.
② 函数在无限区域上的反常积分
定义6 函数在无限区域连续，则定义,如果极限存在， 我们称反常积分收敛.
由于式中的积分上限中的与被积函数中的不同,所以经常表示为。 这种积分是概率论与数理统计中常用求概率分布函数的积分, 即，其中.
③ 函数在无限区域上的反常积分 （请同学给出其定义)。 ④ 函数在无限区域上的反常积分(请同学给出其定义). ⑤ 函数在无限区域上的反常积分（请同学给出其定义）.
上述积分在概率中经常用到。已知随机变量,函数是随机变量的概率密度函数,表示随机变量的分布函数，则概率
，,
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,
其中，分别称为边缘概率密度函数， ，分别称为边缘分布函数.
例如(考研2010年数学一)设二维随机变量的概率密度函数为
，,，
求常数及条件概率密度.
解： 因为,所以
作变量替换,,，即. 则.
所以， 进而。
注: 由余元公式得: 。 还可以用以下方法计算.余元公式的证明过程很繁杂，在此证明略.
先计算， 其中区域: 。 因为， 。 则
,
即。 令， . 则. 令, . 则。
所以. 因为, , 所以， 进而。
上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法: 夹逼方法.同学们应切记这种方法。
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(2） 多元函数反常积分性质与收敛性判别
3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握） (1） 含参量反常积分的概念和定义 (2） 含参量反常积分性质与收敛性判别 二、解证题方法 1、反常积分的计算
反常积分的计算题在考研中很少出现， 如果出现，求解.
例1（南京农业大学2004年）求。 解 令，则。 进而 。
例2(南京大学2000年)求。 解 令,则,所以 .
例3(南京农业大学2004年)求. 解 作变量替换，则 .
例4（上海理工大学2003年）已知积分,计算。 解 .
例5(兰州大学2005年)求。
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一般用变量替换法 解 首先判断积分反常性。
因为在上有间断点，并且，所以积分是反常积分。 。
（2） 反常积分的收敛性判别
例1（数学(一）2010年）设为正整数，则反常积分的收敛性 A. 仅与的取值有关；B. 仅与的取值有关；C。与的取值都有关;D. 与的取值都无关。
解 选D。理由如下：反常积分可能有两个瑕点.所以
,
其中。
(1) 先讨论积分的收敛性.
因为,所以当时，不是的瑕点,进而收敛. 当时,是的瑕点, 由于, ， 由瑕积分比较判别法知， 收敛。 再讨论的收敛性。 作变量替换，则。 因为 ，所以是积分的瑕点. 可找到满足的,使得 ,
其中。 由瑕积分的敛散性判定的比较法则知， 收敛.
综上所述， 反常积分的收敛性与的取值都无关。
例2 （汕头大学2003年)判断无穷积分的敛散性,并证明你的结论. 解 因为，所以， 当时, 收敛, 当时, 发散。 例3 (中山大学2007年)判断积分.
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解 因为 。
所以， 由比较判别法知积分收敛.
例4 (中国地质大学2005年） 讨论(）的敛散性. 解 因为, 所以是的瑕点。 将化为: 。
因为， 所以由瑕积分收敛的比较判别法知, 当时收敛，论反常积分 的敛散性.
（1）当时， 如果, 则由和， 反常积分收敛. (2) 当时， 如果， 则收敛, 即反常积分收敛. (3） 当时， 如果, 不好判断。
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. 下面讨 当时发散
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