自控原理第四章习题课

（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）

解 根轨如图解4-2所示：

（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-2图 开环零、极点分布图

图解4-2 根轨迹图 例2 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。

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G(s)K

s(0.2s1)(0.5s1)K=

s(0.2s1)(0.5s1)10K

s(s5)(s2)解 ⑴ G(s)系统有三个开环极点：p10,p2= -2,p3 = -5 ① 实轴上的根轨迹：

,5, 2,0

0257a33② 渐近线： 

(2k1),a33③ 分离点：

1110 dd5d2解之得：d10.88，d23.7863(舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)=s7s10s10K0

32 Re[D(j)]7210K0令  3Im[D(j)]100 解得10K7

与虚轴的交点（0，10j）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。

例3 控制系统的结构如题4-12图所示，试概略绘制其根轨迹。 解 系统开环传递函数为

K(s1)G(s)

(s2)3此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

① 实轴上的根轨迹：,2,1,

题4-12图 系统结构图 57

② 分离点： 解得 d= -0.5

31 d2d1 ③ 起始角：根据相角条件，

ii1j1mnj2k

得 p160，p260，p3180。 根轨迹如图解4-12所示。

例4 单位反馈系统开环传递函数为

K G(s) 2(s3)(s2s2)要求闭环系统的最大超调量%25%，调节时间ts10s，试选择K值。

解 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ,3

31j1j5a33② 渐近线： (2k1),a33 ③ 与虚轴的交点：系统闭环特征方程为

D(s)s35s28s6K0

把s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2Re(D(j))56K03Im(D(j))80

2.83解得： 

K34图解4-19 根轨迹图 58

根轨迹如图解4-19所示。

由%25% >0.4（arccos0.466.4），在s平面作等阻尼线OA，使之与

实轴夹角为66.4。OA与根轨迹交点为1，其余2个交点为2，3。

2令 1njn10.4nj0.92n 2则 2njn10.4nj0.92n

特征方程为

D(s)(s1)(s2)(s3)s(0.8n3)s(n0.8n3)sn3

3222s35s28s6K

0.8n352比较系数得 n0.8n38

2n36Kn1.73解得 33.616

K4.8由调节时间ts10s, 又ts=3.5/n

n

0.35，当n0.35时，由根之和可得

34.3，由幅值条件确定出对应的K15.5。要求闭环系统的最大超调%25%，

调节时间ts10s，则K取值范围对应为

0K4.8。

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